Question

【題目】如圖，現有一張矩形紙片ABCD，AB＝4，BC＝8，點M，N分別在矩形的邊AD，BC上，將矩形紙片沿直線MN折疊，使點C落在矩形的邊AD上，記為點P，點D落在G處，連接PC，交MN丁點Q，連接CM．

（1）求證：PM＝PN；

（2）當P，A重合時，求MN的值；

（3）若△PQM的面積為S，求S的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2；（3）4≤S≤5

【解析】

（1）由平行線的性質得到∠PMN＝∠MNC，由折疊的性質得到∠MNC＝∠PNM，從而得到∠PMN=∠PNM即可解決問題；

（2）點P與點A重合時，設BN=x，表示出AN=NC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，進而用勾股定理求得MN；

（3）當MN過D點時，求得四邊形CMPN的最小面積，進而得S的最小值，當P與A重合時，S的值最大，求得最大值即可．

解（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴PM∥CN，

∴∠PMN＝∠MNC，

由折疊可得∠MNC＝∠PNM，

∴∠PMN＝∠PNM，

∴PM＝PN；

（2）解：點P與點A重合時，如圖2中，

設BN＝x，則AN＝NC＝8﹣x，

在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，

即42+x2＝（8﹣x）2，

解得x＝3，

∴CN＝8﹣3＝5，AC＝＝＝4，

∴CQ＝AC＝2，

∴QN＝＝＝，

∴MN＝2QN＝2；

（3）解：當MN過點D時，如圖3所示，此時，CN最短，四邊形CMPN的面積最小，則S最小為S＝S菱形CMPN＝×4×4＝4，

當P點與A點重合時，CN最長，四邊形CMPN的面積最大，則S最大為S＝×5×4＝5，

∴4≤S≤5．