Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝x﹣3的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，點B關于x軸的對稱點是C，二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象經過點A和點C．

（1）求二次函數的表達式；

（2）如圖1，平移線段AC，點A的對應點D落在二次函數在第四象限的圖象上，點C的對應點E落在直線AB上，求此時點D的坐標；

（3）如圖2，在（2）的條件下，連接CD，交CD軸于點M，點P為直線AC上方拋物線上一動點，過點P作PF⊥AC，垂足為點F，連接PC，是否存在點P，使得以點P，C，F為頂點的三角形與△COM相似？若存在，求點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）D（4，﹣5）；（3）或

【解析】

（1）由一次函數的解析式求出A、B兩點坐標，再根據A、C兩點坐標求出b、c即可確定二次函數解析式；

（2）由平移的性質設E（m，m﹣3），則D（m+3，m﹣6），代入拋物線的解析式則可求出點D的坐標；

（3）分兩種情況討論：①△COM∽△PFC，②△COM∽△CFP，可求得點P的橫坐標．

解：∵一次函數y＝x﹣3的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B兩點，

∴A（3，0），B（0，﹣3），

∵點B關于x軸的對稱點是C，

∴C（0，3），

∵二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象經過點A、點C，

∴，

∴b＝2，c＝3，

∴二次函數的解析式為：y＝﹣x2+2x+3．

（2）∵A（3，0），C（0，3），平移線段AC，點A的對應為點D，點C的對應點為E，

設E（m，m﹣3），則D（m+3，m﹣6），

∵D落在二次函數在第四象限的圖象上，

∴﹣（m+3）2+2（m+3）+3＝m﹣6，

m1＝1，m2＝﹣6（舍去），

∴D（4，﹣5），

（3）∵C（0，3），D（4，﹣5），

∴，

解得，

∴直線CD的解析式為y＝﹣2x+3，

令y＝0，則x＝，

∴M（，0），

∵一次函數y＝x﹣3的圖象與x軸交于A（3，0），C （0，3），

∴AO＝3，OC＝3，

∴∠OAC＝45°，

過點P作PF⊥AC，點P作PN⊥OA交AC于點E，連PC，

∴△PEF和△AEN都是等腰直角三角形，

設P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），

∴PE＝PN﹣EN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，

∴EN＝﹣m+3，AE＝，FE＝，

∴CF＝AC﹣AE﹣EF＝，

①當△COM∽△PFC，，

∴，

解得m1＝0，舍去，，

②當△COM∽△CFP時，，

∴，

解得m1＝0（舍去），，

綜合可得P點的橫坐標為或．