Question

【題目】已知拋物線W：y=x-4x+2的頂點為A，與x軸交于點B、C.

（1）求∠ABC的正切值；

（2）若點P是拋物線W上的一點，過P作直線PQ垂直x軸，將拋物線W關于直線PQ對稱，得到拋物線Wˊ，設拋物線Wˊ的頂點Aˊ，問：是否存在這樣的點P，使得△APAˊ為直角三角形？若存在，求出對稱所得的拋物線Wˊ的表達式；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.

【解析】

（1）如圖，設對稱軸與x軸交點為D，令y=0，可求出A、B兩點坐標，可得BD的長，把拋物線解析式變成頂點式可得頂點坐標，可得AD的長，根據正切的定義求出叫ABC的正切值即可；（2）如圖，設P（a，a2-4a+2），對稱軸x=a與AA′交于E，由（1）可知原拋物線對稱軸為直線x=2，A點坐標為（2，-2），當a>2時，由拋物線W與W′關于x=a對稱，且∠APA′=90°，可得△APA′是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形性質可得PE=AE，即可求出a的值，進而可得A′點坐標，根據頂點式即可得拋物線W′的解析式；同理可求出當a<2時拋物線W′的解析式.

（1）如圖，設對稱軸與x軸交點為D，

令y=0，則x2-4x+2=0，

解得x1=2-，x2=2+，

∴B點坐標為（2-，0），C點坐標為（2+，0），

∵y=x2-4x+2=(x-2)2-2，

∴頂點坐標為（2，-2），對稱軸為直線x=2，

∴D點坐標為（2，0），

∴BD=，AD=2，

∴tan∠ABC===.

（2）如圖，設P（a，a2-4a+2），對稱軸x=a與AA′交于E，

①當a>2時，A（2，-2），E（a，-2），

∵拋物線W與拋物線W′關于直線x=a對稱，∠APA′=90°，

∴△APA′是等腰直角三角形，

∴PE=AE，即a2-4a+2-(-2)=a-2，

解得：a1=2(舍去)，a2=3，

∴AE=3-2=1，

∴A′點的橫坐標為3+1=4，

∴A′坐標為（4，-2），

∴拋物線W′的解析式為y=(x-4)2-2.

②如圖，當a<2時，同理，PE=AE，

∴a2-4a+2-(-2)=2-a，

解得a1=2(舍去)，a2=1，

∴AE=2-1=1，

∴A′點的橫坐標為1-1=0，

∴A′點坐標為（0，-2），

∴拋物線W′的解析式為y=x2-2.

綜上所述：拋物線W′的解析式為y=(x-4)2-2或y=x2-2.