Question

【題目】如圖，A是以BC為直徑的⊙O上一點，過點B作⊙O的切線，與CA的延長線相交于點D，E是BD的中點，延長AE與CB的延長線相交于點F．

（1）求證：AF是⊙O的切線；

（2）若BE＝5，BF＝12，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）利用直角三角形斜邊中線的性質和等邊對等角得到∠EAB＝∠EBA，結合⊙O的切線得出OA⊥AF，從而得出AF是⊙O的切線；

（2）先根據勾股定理求得EF的長，再根據切線的性質得出EB＝EA＝5，即可求得AF的長，然后根據切割線定理求得FC，進而得出BC的長，根據E是BD的中點，得出BD的長，最后根據勾股定理即可求得CD的長．

解：（1）連接AB，OA，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC＝90°，

∵DB是⊙O的切線，

∴DB⊥BC，

∴∠DBO＝90°，

在RT△ABD中，E是斜邊BD的中線，

∴AE＝DE＝BE，

∴∠EAB＝∠EBA，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA，

∴∠EAB+∠OAB＝∠EBA+∠OBA

∴∠EAO＝∠DBO＝90°，

∴OA⊥AF，

∴AF是⊙O的切線；

（2）∵在RT△BEF中，BE＝5，BF＝12，

∴EF＝＝13，

∵FA、DB是⊙O的切線，

∴EA＝EB＝5，

∴AF＝EF+EA＝13+5＝18，

∵AF2＝FBFC，

∴FC＝

∴BC＝FC﹣FB＝27﹣12＝15，

∵E是BD的中點，

∴BD＝2BE＝10，

在RT△DBC中，．