Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與軸交于點，與軸交于點，過點作軸，交拋物線于點，并過點作軸，垂足為．拋物線和反比例函數的圖象都經過點，四邊形的面積是．

求反比例函數、二次函數的解析式及拋物線的對稱軸；

如圖，點從點出發以每秒個單位的速度沿線段向點運動，點從點出發以相同的速度沿線段img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2019/05/12/08/1a8f9afd/SYS201905120854095644903087_ST/SYS201905120854095644903087_ST.023.png" width="24" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />向點運動，其中一個動點到達端點時，另一個也隨之停止運動．設運動時間為秒．

①當為何值時，四邊形為等腰梯形；

②設與對稱軸的交點為，過點作軸的平行線交于點，設四邊形的面積為，求面積關于時間的函數解析式，并指出的取值范圍；當為何值時，有最大值或最小值．

Answer 1

【答案】 ,①當秒時，四邊形為等腰梯形②當秒時，面積有最小值．

【解析】

（1）根據反比例函數的比例系數k的幾何意義可求出k，從而可求出點B的坐標，然后運用待定系數法就可求出二次函數的解析式，由此可求出對稱軸方程；
（2）①過點P作PE⊥OA，垂足為E，如圖2，易證BC∥OA，要使四邊形ABPQ為等腰梯形，只需PQ=AB，只需QE=AD=1，由此即可求出t的值；②如圖2，易證△MFP≌△MGQ，則有MF=MG，從而可求出S△BPN（用t表示），然后只需求出S四邊形ABPQ，并運用割補法就可得到S關于t的函數解析式，然后只需利用該函數的增減性就可解決問題．

如圖，

∵四邊形的面積是

，

∴，

∴反比例函數的解析式為．

∵反比例函數的圖象經過點，

∴，

解得．

∴．

將點，代入，得

解得：，

∴二次函數的解析式．

則拋物線的對稱軸為；①由題意可知：．

∵點，點的縱坐標相等，

∴．

過點作，垂足為，如圖．

要使四邊形為等腰梯形，只需．

即．

又，

∴．

解得，

∴當秒時，四邊形為等腰梯形．

②設對稱軸與、軸的交點分別為、，如圖．

∵對稱軸是線段的垂直平分線，

∴．

又∵，

∴．

∵，

∴．

在和中，

∴，

∴，

∴

．

∵

，

∴

．

∵，，

∴點運動到點時停止運動，需要秒，

∴．

∵，

∴當秒時，面積有最小值．