Question

【題目】已知二次函數y＝﹣x2+2mx﹣m2+4．

（1）求證：該二次函數的圖象與x軸必有兩個交點；

（2）若該二次函數的圖象與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），頂點為C，

①求△ABC的面積；

②若點P為該二次函數圖象上位于A、C之間的一點，則△PAC面積的最大值為　 　，此時點P的坐標為　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①8；②1，（m﹣1，3）

【解析】

（1）根據b2﹣4ac＝4m2﹣4×（﹣1）×（﹣m2+4）＝16＞0，即可證明.

（2）①當y＝0時，﹣x2+2mx﹣m2+4＝0，解得x1＝m+2，x2＝m﹣2，即可求出AB＝4

，將一般式配方為頂點式即可求出頂點為C的坐標，即可求出點△ABC的面積；

②設點P橫坐標為（a，b），其中b＝﹣a2+2am﹣m2+4,表示出△PAC面積，整理得S△PAC＝﹣a2+2a（m﹣1）﹣m2+2m，根據二次函數的性質即可求解.

（1）證明：當y＝0時，﹣x2+2mx﹣m2+4＝0，

∵b2﹣4ac＝4m2﹣4×（﹣1）×（﹣m2+4）＝16＞0，

∴此一元二次方程有兩個解，

∴該二次函數的圖象與x軸必有兩個交點；

（2）解：①當y＝0時，﹣x2+2mx﹣m2+4＝0，

解得：x1＝m+2，x2＝m﹣2

∵點A在點B的左側

∴點A、B橫坐標分別為m﹣2，m+2

∴AB＝4

配方得y＝﹣x2+2mx﹣m2+4＝﹣（x﹣m）2+4

∴拋物線頂點為（m，4）

∴S△ABC＝×4×4＝8；

②設點P橫坐標為（a，b），其中b＝﹣a2+2am﹣m2+4

整理得S△PAC＝b+2m﹣2a﹣4

把b＝﹣a2+2am﹣m2+4代入上式

S△PAC＝﹣a2+2am﹣m2+4+2m﹣2a﹣4

整理得

S△PAC＝﹣a2+2a（m﹣1）﹣m2+2m

∵a＝﹣1＜0

∴當a＝m﹣1時，△PAC面積最大值為1

此時點P坐標為（m﹣1，3）

故答案為：1，（m﹣1，3）