Question

【題目】如圖1，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A(﹣1，0)，B(4，0)兩點，與y軸相交于點C，連接BC，點P為拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線l，交直線BC于點G，交x軸于點E．

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1，當P位于y軸右邊的拋物線上運動時，過點C作CF⊥直線l，F為垂足，當點P運動到何處時，以P，C，F為頂點的三角形與△OBC相似，并直接寫出此時點P的坐標；

(3)如圖2，當點P在位于直線BC上方的拋物線上運動時， 連接PB，PC，設點P的橫坐標為m， △PBC的面積為S，

①求出S與m的函數關系式；

②求出點P到直線BC的最大距離.

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+3x+4；(2)點P的坐標為 (2，6)或(4，0)；(3)①S=﹣2m2+8m；②點P到直線BC的最大距離為.

【解析】

（1）將點A（-1，0），B（4，0）的坐標代入拋物線的解析式，求得b、c的值即可；
（2）先由函數解析式求得點C的坐標，從而得到△OBC為等腰直角三角形，故此當CF=PF時，以P，C，F為頂點的三角形與△OBC相似．設P（t，-t2+3t+4）（t＞0），則CF=t，構建方程從而可求得t的值，于是可求得點P的坐標；

（3）連接EC．設點P的坐標為(m，﹣m2+3m+4)．則OE=m，PE=﹣m2+3m+4，EB=4﹣m．

然后依據S△PBC=S四邊形PCEB-S△CEB列出△PBC的面積與m的函數關系式，從而可求得三角形的最大面積，從而求得此時點P坐標，根據坐標求點P到直線BC的最大距離為.

(1)由題意得 ，解得

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4．

(2)點P的坐標為 (2，6)或(4，0)．

(3)如圖2所示：連接EC．

設點P的坐標為(m，﹣m2+3m+4)．則OE=m，PE=﹣m2+3m+4，EB=4﹣m．

∵C(0，4)，B(4，0)，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+4．

∵S四邊形PCEB=OBPE=×4(﹣m2+3m+4)，S△CEB=EBOC=×4×(4﹣m)，

∴S△PBC=S四邊形PCEB﹣S△CEB=2(﹣m2+3m+4)﹣2(4﹣m)=﹣2m2+8m．

∵a=﹣2＜0，

∴當a=2時，△PBC的面積S有最大值．

∴P(2，6)，△PBC的面積的最大值為8．

過點P作PH⊥BC于點H，由題意得C（0,4），D(4，0),OB=OC=4，

∴∠ABC=45°=∠EGB，∠PGH=∠EGB=45°，即△PGH是等腰直角三角形，

∵P(2，6),∴OE=2=EB=EG,PG=PE-GE=6-2=4，

∴PH=PG×sin45°=4×=.

即點P到直線BC的最大距離為.