Question

【題目】（本題10分）如圖，已知二次函數的圖象的頂點為A，二次函數的圖象與軸交于原點O及另一點C，它的頂點B在函數的圖象的對稱軸上．

(1) 求點A與點C的坐標；

(2) 當四邊形AOBC為菱形時，求函數的關系式．

Answer 1

【答案】（1）A的坐標為（1，﹣2），C的坐標為（2，0）．

（2）二次函數y=ax2+bx的關系式為y=﹣2x2+4x．

【解析】試題分析：（1）二次函數y=ax2+bx的頂點在已知二次函數拋物線的對稱軸上，可知兩個函數對稱軸相等，因此先根據已知函數求出對稱軸．根據函數解析式得出頂點A的坐標與對稱軸，故可得出二次函數y=ax2+bx關于x=1對稱，且函數與x軸的交點分別是原點和C點，所以點C和點O關于直線l對稱，故可得出點C的坐標；

（2）因為四邊形AOBC是菱形，根據菱形性質，可以得出點O和點C關于直線AB對稱，點B和點A關于直線OC對稱，因此，可求出點B的坐標，根據二次函數y=ax2+bx的圖象經過點B（1，2），C（2，0），將B，C代入解析式得出ab的值，進而得出其解析式．

試題解析：（1）∵y=x2-2x-1=（x-1）2-2，

∴頂點A的坐標為（1，-2）．

∵二次函數y=ax2+bx的圖象與x軸交于原點O及另一點C，它的頂點B在函數y=x2-2x-1的圖象的對稱軸上．

∴二次函數y=ax2+bx的對稱軸為：直線x=1，

∴點C和點O關于直線x=1對稱，

∴點C的坐標為（2，0）．

（2）因為四邊形AOBC是菱形，所以點B和點A關于直線OC對稱，

因此，點B的坐標為（1，2）．

因為二次函數y=ax2+bx的圖象經過點B（1，2），C（2，0），

所以

解得，

所以二次函數y=ax2+bx的關系式為y=-2x2+4x．