Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，點C為半徑OB上一點，過點C作CD丄AB交半圓O于點D，將△ACD沿AD折疊得到△AED，AE交半圓于點F，連接DF．

（1）求證：DE是半圓的切線：

（2）連接0D，當OC=BC時，判斷四邊形ODFA的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）四邊形ODFA是菱形

【解析】

試題分析：（1）連接OD，由等腰三角形的性質可得到∠OAD=∠ODA，由圖形翻折變換的性質可得到∠CDA=∠EDA，再根據CD⊥AB即可得出結論；

（2）連接OF，可知OC=BC=OB=OD，由平行線的判定定理可得出OD∥AF，進而可得出△FAO是等邊三角形，由等邊三角形的性質可判斷出四邊形ODFA是平行四邊形，由OA=OD即可得出結論．

試題解析：（1）如圖，連接OD，則OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵△AED由△ACD對折得到，

∴∠CDA=∠EDA，

又∵CD⊥AB，

∴∠CAD+∠CDA=∠ODA+∠EDA=90°，D點在半圓O上，

∴DE是半圓的切線；

（2）四邊形ODFA是菱形，

如圖，連接OF，

∵CD⊥OB，

∴△OCD是直角三角形，

∴OC=BC=OB=OD，

在Rt△OCD中，∠ODC=30°，

∴∠DOC=60°，

∵∠DOC=∠OAD+∠ODA，

∴∠OAD=∠ODA=∠FAD=30°，

∴OD∥AF，∠FAO=60°，

又∵OF=OA，

∴△FAO是等邊三角形，

∴OA=AF，

∴OD=AF，

∴四邊形ODFA是平行四邊形，

∵OA=OD，

∴四邊形ODFA是菱形．