Question

【題目】已知y1，y2分別是關于x的函數，如果函數y1和y2的圖象有交點，那么稱y1，y2為“親密函數”，交點稱為函數y1和y2的“親密點”；若兩函數圖象有兩個交點，橫坐標分別是x1，x2，稱L＝|x1﹣x2|為函數y1和y2的“親密度”，特別地，若兩函數圖象只有一個交點，則兩函數的“親密度”L＝0．

（1）已知一次函數y1＝2x﹣5與反比例函數y2＝，請判斷函數y1和y2是否為“親密函數”，若是，請寫出“親密點”及“親密度”L，若不是，請說明理由；

（2）已知二次函數y＝ax2﹣6x+c與x軸只有一個交點，與一次函數y＝x﹣1的“親密度”L＝3，求二次數的解析式；

（3）已知“親密函數”y1＝ax﹣2和y2＝的“親密度”L＝0，“親密點”為P（x0，y0），將過P的拋物線y＝ax2+bx+c（b＞0）進行平移，點P的對應點為P1（1﹣m，2b﹣1），平移后的拋物線仍經過點P，當m≥﹣時，求平移后拋物線的頂點所能達到的最高點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）“親密點”為：（﹣，6）或（3，1）； “親密度”L＝；（2）y＝x2﹣6x+9或y＝﹣x2﹣6x﹣；（3）（，﹣）．

【解析】

（1）聯立y1＝2x﹣5與反比例函數y2＝并整理得：2x2﹣5x﹣3＝0，解得：x＝3或﹣，即可求解；

（2）由題意得：△＝36﹣4ac＝0，解得：ac＝9，L＝3，則L2＝9，即：（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，即可求解；

（3）聯立y1＝ax﹣2和y2＝并整理得：ax2﹣2x+1＝0，△＝4a﹣4＝0，解得：a＝1，當a＝1時，x＝1，故點P（1，﹣1）；由平移前的拋物線y＝x2+bx+c，可得

y＝（x+）2﹣+c，即y＝（x+）2﹣﹣2﹣b．因為平移后P（1，﹣1）的對應點為P1（1﹣m，2b﹣1），可知，拋物線向左平移m個單位長度，向上平移2b個單位長度．

則平移后的拋物線解析式為y＝（x++m）2﹣﹣2﹣b+2b，即y＝（x++m）2﹣﹣2+b．把（1，﹣1）代入，得（1++m）2﹣﹣2+b＝﹣1．即可求解．

（1）聯立y1＝2x﹣5與反比例函數y2＝并整理得：

2x2﹣5x﹣3＝0，解得：x＝3或﹣，

故“親密點”為：（﹣，6）或（3，1）；

“親密度”L＝3+＝；

（2）由題意得：△＝36﹣4ac＝0，解得：ac＝9，

聯立y＝ax2﹣6x+c、y＝x﹣1并整理得：ax2﹣7x+c+1＝0，

則x1+x2＝，x1x2＝；

L＝3，則L2＝9，

即：（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，

則（）2﹣4（）2＝9，

解得：a＝1或﹣，c＝9或﹣；

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣6x+9或y＝﹣x2﹣6x﹣；

（3）聯立y1＝ax﹣2和y2＝并整理得：ax2﹣2x+1＝0，

△＝4a﹣4＝0，解得：a＝1，

當a＝1時，x＝1，故點P（1，﹣1）；

由平移前的拋物線y＝x2+bx+c，可得

y＝（x+）2﹣+c，即y＝（x+）2﹣﹣2﹣b．

因為平移后P（1，﹣1）的對應點為P1（1﹣m，2b﹣1）

可知，拋物線向左平移m個單位長度，向上平移2b個單位長度．

則平移后的拋物線解析式為y＝（x++m）2﹣﹣2﹣b+2b，

即y＝（x++m）2﹣﹣2+b．

把（1，﹣1）代入，得

（1++m）2﹣﹣2+b＝﹣1．

（1++m）2＝﹣b+1．

（1++m）2＝（﹣1）2．

所以1++m＝±（﹣1）．

當1++m＝﹣1時，m＝﹣2（不合題意，舍去）；

當1++m＝﹣（﹣1）時，m＝﹣b，

因為m≥﹣，所以b≤．

所以0＜b≤，

所以平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣）2﹣2+b．

即頂點為（，﹣2+b），

設p＝﹣﹣2+b，即p＝﹣（b﹣2）2﹣1．

因為﹣＜0，所以當b＜2時，p隨b的增大而增大．

因為0＜b≤，

所以當b＝時，p取最大值為﹣，

此時，平移后拋物線的頂點所能達到的最高點坐標為（，﹣）．