Question

【題目】如圖，已知△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，點D在線段AC上．

（1）求∠DCE的度數；

（2）當點D在線段AC上運動時（D不與A重合），請寫出一個反映DA，DC，DB之間關系的等式，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2BD2=DA2+DC2，見解析

【解析】

（1）只要證明△ABD≌△CBE（SAS），推出∠A=∠ACB=∠BCE=45°即可解決問題；

（2）存在，2BD2=DA2+DC2；在Rt△DCE中，利用勾股定理證明即可．

（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，∠A=∠ACB=45°，

同理可得：DB=BE，∠DBE=90°，∠BDE=∠BED=45°，

∴∠ABD=∠CBE，

在△ABD與△CBE中，

AB=BC，∠ABD=∠CBE，DB=BE，

∴△ABD≌△CBE（SAS），

∴∠A=∠BCE=45°

∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°．

（2）2BD2=DA2+DC2．

證明如下：

∵△BDE是等腰直角三角形，

∴DE=BD，

∴DE2=2BD2，

∵△ABD≌△CBE，

∴AD=CE，

∴DE2=DC2+CE2=AD2+CD2，

故2BD2=AD2+CD2．