Question

【題目】已知關于的方程x2-(2k+1)x+4k-2=0

（1）求證：不論k取何值，這個方程總有實數根

（2）若等腰△ABC一邊長a=4，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩根，求△ABC的周長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）10.

【解析】(1)根據方程各項的系數利用根的判別式即可得出=（2k-3）2≥0,此題得證;

(2)當a為底時，則b、c為腰，根據兩根相等得出k的值；當a為腰時，則b、c中有一個的值也等于4，將其代入方程求出k的值;再根據根與系數的關系求出a+b的值，進而可求出三角形的周長.

（1）證明：∵在方程x2-（2k+1）x+4k-2=0中，

△=[-（2k+1）]2-4（4k-2）=4k2-12k+9=（2k-3）2≥0，

∴不論k取什么實數值，這個方程總有實數根；

（2）解：當a為底邊時，b=c，

∴△=（2k-3）2=0，解得：k=，

∴b+c=2k+1=4=a，

∴此種情況不合適；

當a為腰時，將x=4代入原方程得：16-4（2k+1）+4k-2=0，

解得：k=．

∴b+c=2k+1=6，

∴△ABC的周長=a+b+c=4+6=10．