Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，連接， ，是第四象限內拋物線上的一個動點，過點作軸，垂足為交于點，過點作交軸于點，交于點．

（1）求拋物線 的解析式；

（2）求面積的最大值；

（3）① 試探究在點的運動過程中，是否存在這樣的點，使得以 為頂點的三角形是等腰三角形? 若存在，請求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由；

② 請直接寫出當等腰直角三角形時，點的坐標 ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①點的坐標為或，②點的坐標為

【解析】

（1）根據拋物線經過A、B兩點和可得點C坐標，從而利用待定系數法求出拋物線表達式；

（2）求出AC和BC的表達式，過點作于點，設，得出當最大時，最大，設點的坐標為(，)，將PQ用關于t的式子表示出來，求出PQ的最大值即可得到的最大值；

（3）①設點的坐標為，分AC=AQ，AC=CQ兩種情況，結合等腰三角形的性質求出點Q坐標即可；

②設點的坐標為，證明△AOC∽△EMP，表示出EM和QM，建立方程，解之即可.

解：（1）拋物線與軸交于點，且 ，

∴，點的坐標為．

∴．

∴，

解得，

∴ 拋物線的解析式為；

（2） ∵ 點，

∴ 直線的解析式為．

∵點，

∴ 直線的解析式為，

∵軸，

∴，

如圖，過點作于點 ，設，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴ 當最大時，最大 ，

設點的坐標為(，)，

則 ，

∴，

當時， 最大值為，

∴，

∴；

（3）① 存在，設點的坐標為，

則．

如圖，當時，有，

解得 =0 (舍)，

=1 ，此時點的坐標為；

如圖，當時，

，有

解得，（舍），，

此時點的坐標為，

綜上，以 為頂點的三角形是等腰三角形時，點的坐標為或；

②當△EMQ為等腰直角三角形時，設點的坐標為，

∴點P坐標為(，)，

∵PE∥AC，

∴可得△AOC∽△EMP，

則,

∴EM=，

∵EM=QM，

∴=4-n，

解得：n=1或n=4（舍），

∴點的坐標為.