Question

【題目】已知△ABC三邊長a=b=6，c=12．

（1）如圖1，以點A為原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，直接出點B，C的坐標．

（2）如圖2，過點C作∠MCN=45°交AB于點M，N，請證明AM2+BN2=MN2；

（3）如圖3，當點M，N分布在點B異側時，則（3）中的結論還成立嗎？

Answer 1

【答案】（1）點C的坐標為（6，6）；（2）見解析；（3）仍然成立.

【解析】

（1）利用勾股定理逆定理判斷出是直角三角形，從而得到△ABC是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質求出點C的橫坐標與縱坐標即可得解；

（2）把△ACM繞點C逆時針旋轉90°得到△BCM′，連接M′N，根據旋轉的性質可得AM=BM′、CM=CM′、∠CAM=∠CBM′，∠ACM=∠BCM′，然后求出∠MCN=∠M′CN，∠M′BN=90°，再利用“邊角邊”證明△MCN和△M′CN全等，根據全等三角形對應邊相等可得MN=M′N，然后利用勾股定理列式證明即可；

（3）把△BCN繞點C順時針旋轉90°得到△ACN′，根據旋轉的性質可得AN′=BN，CN′=CN，∠CAN′=∠CBN，然后判斷出點N′在y軸上，再求出∠MCN′=45°，從而得到∠MCN=∠MCN′，再利用“邊角邊”證明△MCN和△MCN′全等，根據全等三角形對應邊相等可得MN=MN′，然后利用勾股定理列式即可得證．

（1）∵a=b=6，c=12，

∵a2+b2=（6）2+（6）2=144=c2，

∴△ABC是直角三角形，

又∵a=b，

∴△ABC是等腰直角三角形；

∵AB=c=12，

∴點B（12，0），

如圖1，過點C作CD⊥x軸于D，

則AD=CD=AB=×12=6，

∴點C的坐標為（6，6）；

（2）如圖，把△ACM繞點C逆時針旋轉90°得到△BCM′，連接M′N，

由旋轉的性質得，AM=BM′、CM=CM′、∠CAM=∠CBM′=45°，∠ACM=∠BCM′，

∴∠M′BN=∠ABC+∠CBN′=45°+45°=90°，

∵∠MCN=45°，

∴∠M′CN=∠BCN+∠BCM′=∠BCN+∠ACM=90°﹣∠MCN=90°﹣45°=45°，

∴∠MCN=∠M′CN，

在△MCN和△M′CN中，

∵，

∴△MCN≌△M′CN（SAS），

∴MN=M′N，

在Rt△M′NB中，BM′2+BN2=M′N2，

∴AM2+BN2=MN2；

（3）仍然成立，

如圖3，∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CAB=∠CBA=45°，

把△BCN繞點C順時針旋轉90°得到△ACN′，

由旋轉的性質得，AN′=BN，CN′=CN，∠CAN′=∠CBN=135°，

∴∠MAN′=135°﹣45°=90°，

∴點N′在y軸上，

∵∠MCN=45°，

∴∠MCN′=90°﹣45°=45°，

∴∠MCN=∠MCN′，

在△MCN和△MCN′中，

∵，

∴△MCN≌△MCN′（SAS），

∴MN=MN′，

在Rt△AMN′中，AM2+AN′2=MN′2，

∴AM2+BN2=MN2．