Question

【題目】如圖所示，MN是⊙O的切線，B為切點，BC是⊙O的弦且∠CBN=45°，過C的直線與⊙O，MN分別交于A，D兩點，過C作CE⊥BD于點E．、

（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若∠D=30°，BD=4，求⊙O的半徑r．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC、OB，如圖，

∵MN是⊙O的切線，

∴OB⊥MN，

∴∠OBE=90°，

∵CE⊥MN，

∴∠CEB=90°，

∵∠BOC=2∠BAC=2×45°=90°，

∴四邊形OBEC為矩形，

∴∠OCE=90°，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切線

（2）解：∵OB=OC，

∴四邊形OBEC為正方形，

∴BE=CE=OB=r，

∴DE=BD﹣BE=4﹣r，

在Rt△CED中，∵tanD= =tan30°，

∴ = ，

∴r=2 ﹣2

【解析】（1）連接OC、OB，依據切線的性質可得到∠OBE=90°，然后，再由圓周角定理得到∠BOC=2∠BAC=90°，接下來，再證明四邊形OBEC為矩形，根據矩形的性質可得到∠OCE=90°，最后，根據切線的判定定理進行判斷即可；
（2）先證明四邊形OBEC為正方形，然后再依據正方形的性質得到BE=CE=OB=r，然后在Rt△CED中利用正切的定義得到=，然后再解關于r的方程即可.