Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點A(－2，0)，點B(0，4)，點E在OB上，且∠OAE＝∠OBA.

(1)如圖①，求點E的坐標

(2)如圖②，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連接A′B，BE′.

①設AA′＝m，其中0<m<2，試用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值時點E′的坐標；

②當A′B＋BE′取得最小值時，求點E′的坐標(直接寫出結果即可).

Answer 1

【答案】（1）（0，1）（2）①（1，1）；②(，1).

【解析】

（1）根據相似三角形△OAE∽△OBA的對應邊成比例得到，則易求OE=1，所以E（0，1）；

（2）如圖②，連接EE′．在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=（2-m）2+42=m2-4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，則A′B2+BE′2=2m2-4m+29=2（m-1）2+27．所以由二次函數最值的求法知，當m=1即點E′的坐標是（1，1）時，A′B2+BE′2取得最小值．

（1）如圖①，∵點A（-2，0），點B（0，4），

∴OA=2，OB=4．

∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，

∴△OAE∽△OBA，

∴，即，

解得OE=1，

∴點E的坐標為（0，1）；

（2）①如圖②，連接EE′．

由題設知AA′=m（0＜m＜2），則A′O=2-m．

在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2-m）2+42=m2-4m+20．

∵△A′E′O′是△AEO沿x軸向右平移得到的，

∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．

∴∠BEE′=90°，EE′=m．

又∵BE=OB-OE=3，

∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，

∴A′B2+BE′2=2m2-4m+29=2（m-1）2+27．

當m=1時，A′B2+BE′2可以取得最小值，此時，點E′的坐標是（1，1）．

②如圖②，過點A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．

易證△AB′A′≌△EBE′，

∴B′A′=BE′，

∴A′B+BE′=A′B+B′A′．

當點B、A′、B′在同一條直線上時，A′B+B′A′最小，即此時A′B+BE′取得最小值．

易證△AB′A′∽△OBA′，

∴，

∴，AO=2，

∴AA′=×2=，

∴EE′=AA′=，

∴點E′的坐標是（，1）．