Question

【題目】如圖，已知△ABC，分別以AB，AC為直角邊，向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，∠EAB=∠DAC=90°，連結BD，CE交于點F，設AB=m，BC=n．下列結論①∠BDA=∠ECA; ②若m＝，n＝3，∠ABC＝75°，則BD=；③當∠ABC=135°時，BD最大，最大值為m+n；④AE2=BF2+EF2中正確的有_______。

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

（1）利用△ABE和△ACD是等腰直角三角形，可得△BAD≌△EAC（SAS），進而得出∠BDA=∠ACE；

（2）作EG⊥CB，交CB的延長線與G點，先求得∠EBG=60°，再根據勾股定理即可得到BD的長；

（3）當B，E，C三點共線時，EC取最大值，∠ABC=135°．依據EC=BE+BC=m+n，可得BD=m+n；

（4）依據全等三角形的性質可得∠AEF=∠ABF，進而得出∠EFB=90°，依據勾股定理可得EB2=BF2+EF2，依據BE=AE，即可得出2AE2=BF2+EF2．

①∵△ABE和△ACD是等腰直角三角形，

∴AE=AB，AC=AD，∠BAE=∠CAD=90°，∠ACD=∠ADC=45°，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，

∴∠CAE=∠BAD，

在△BAD和△EAC中，

，

∴△BAD≌△EAC（SAS），

∴∠BDA=∠ACE，

故①正確；

②如圖，作EG⊥CB，交CB的延長線與G點，

∵等腰直角三角形ABE，AE=AB=，

∴∠ABE=45°，BE=2，

∵∠ABC=75°，

∴∠EBG=60°，

∴BG=1，

∴根據勾股定理得EG=

∵BC=3，

∴CG=4，

∴根據勾股定理可得，EC2=EG2+CG2，

解得CE=，

∴根據（1）得BD=CE=，

故②正確；

③在△EBC中，BE=m，BC=n，

根據三角形三邊關系可得BE+BC＞EC，

∴當B，E，C三點共線時，EC取最大值，∠ABC=135°．如圖所示：

∴EC=BE+BC=m+n，

即BD=m+n，

故③正確；

④∵△EAC≌△BAD，

∴∠AEF=∠ABF，

∵∠AEB+∠ABE=90°，

∴∠EFB=90°，

∴EB2=BF2+EF2，

∵BE=AE，

∴2AE2=BF2+EF2．

故④錯誤.

故答案為：①②③.