Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD的邊OA在x軸上，將平行四邊形沿對角線AC對折，AO的對應線段為AD，且點D，C，O在同一條直線上，AD與BC交于點E.

（1）求證：△ABC≌△CDA.

（2）若直線AB的函數表達式為，求三角線ACE的面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）

【解析】

（1）利用平行四邊形的性質及折疊的性質，可得出CD=AB，∠DCA=∠BAC，結合AC=CA可證出△ABC≌△CDA（SAS）；
（2）由點D，C，O在同一直線上可得出∠DCA=∠OCA=90°，利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出點A的坐標及OA的長度，由OC∥AB可得出直線OC的解析式為y=x，進而可得出∠COA=45°，結合∠OCA=90°可得出△AOC為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質可得出OC、AC的長，結合（1）的結論可得出四邊形ABDC為正方形，再利用正方形的面積公式結合S△ACE=S正方形ABDC可求出△ACE的面積．

（1）證明：∵四邊形ABCO為平行四邊形，
∴AB=CO，AB∥OC，
∴∠BAC=∠OCA．
由折疊可知：CD=CO，∠DCA=∠OCA，
∴CD=AB，∠DCA=∠BAC．
在△ABC和△CDA中，

，

∴△ABC≌△CDA（SAS）．

（2）解：∵∠DCA=∠OCA，點D，C，O在同一直線上，

∴∠DCA=∠OCA=90°．
當y=0時，x-6=0，解得：x=6，
∴點A的坐標為（6，0），OA=6．
∵OC∥AB，
∴直線OC的解析式為y=x，
∴∠COA=45°，
∴△AOC為等腰直角三角形，
∴AC=OC=．
∵AB∥CD，AB=CD=AC，∠DCA=90°，
∴四邊形ABDC為正方形，