Question

【題目】把一張矩形紙片ABCD按如圖方式折疊，使頂點B落在邊AD上（記為點B′），點A落在點A′處，折痕分別與邊AD、BC交于點E、F．

（1）試在圖中連接BE，求證：四邊形BFB′E是菱形；

（2）若AB＝8，BC＝16，求線段BF長能取到的整數值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）8，9，10

【解析】試題分析：（1）連接BB′，由折疊知點B、B′關于EF對稱，可知BE＝B′E，BF＝B′F，然后根據矩形的性質可證∠B′EF＝B′FE，從而得到BE＝B′E＝B′F＝BF，再由四條邊都相等的四邊形是菱形得證；

（2）如圖1，當點E與點A重合時，四邊形ABFB′是正方形，此時BF最小；如圖2，當點B與點D重合時，BF最大，然后由勾股定理可求出范圍，然后取整即可.

試題解析：（1）連接BB′．由折疊知點B、B′關于EF對稱．

∴EF是線段BB′的垂直平分線．

∴BE＝B′E，BF＝B′F．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC．

∴∠B′EF＝∠BFE．

由折疊得B′FE＝∠BFE．

∴∠B′EF＝B′FE．

∴B′E＝B′F．

∴BE＝B′E＝B′F＝BF．

∴四邊形BFB′E是菱形．

（2）如圖1，當點E與點A重合時，四邊形ABFB′是正方形，此時BF最小．

∵四邊形ABFB′是正方形，

∴BF＝AB＝8，即BF最小為8．

如圖2，當點B與點D重合時，BF最大．

設BF＝，則CF＝，DF＝BF＝．

在Rt△CDF中，由勾股定理得CF2＋CD2＝DF2．

∴＝，解得＝10，即BF＝10．

∴8≤BF≤10．

∴線段BF長能取到的整數值為8，9，10．