Question

【題目】如圖，在直角坐標系內，拋物線y＝x2﹣4x﹣4與x軸交于點A，B，與y軸交于點C．頂點為D，對稱軸與x軸的交點為E，連接BD，DC，CE．點P是拋物線在第四象限內一點，過點P作PH⊥CE，垂足為H．點F是y軸上一點，連接PF并延長交x軸于點G，過點O作OM⊥PG，垂足為M．

（1）當PH取得最大值時，求PE+PF+OF的最小值；

（2）當PE+PF+OF取得最小值時，把△OMF繞點O旋轉a°（0＜a≤360°），記旋轉過程中的△OMF為△OM′F′．直線M′F′與x軸的交點為K．當△OF′K是以OK為底的等腰三角形時，直接寫出所有滿足條件的點M′的坐標．

Answer 1

【答案】（1）PE+PF+OF的最小值＝5+；（2）點M′的坐標為：（﹣，﹣）或（﹣，）或（，）或（，﹣）．

【解析】

（1）先求得拋物線與坐標軸的交點坐標、頂點坐標，再待定系數法求直線CE解析式，再根據平行線一次項系數相等求經過點P且平行于CE的直線解析式，解方程組求點P坐標，求PE+PF+OF最小值即求PF+OF的最小值，根據兩點之間線段最短即可；

（2）△OF′K是以OK為底的等腰三角形，按照順時針旋轉可分四種情形：①點M′在第三象限，OF′＝KF′，點M′在第二象限，OF′＝KF′，③點M′在第一象限，OF′＝KF′，④點M′在第四象限，F′K＝OF′；分別討論即可．

解：（1）在拋物線y＝x2﹣4x﹣4中，令x＝0，則y＝﹣4，∴C（0，﹣4），

令y＝0，得x2﹣4x﹣4＝0，解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴A（2﹣2，0），B（2+2，0）

∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，∴頂點D（2，﹣8），E（2，0），

易求得直線CE解析式為：y＝2x﹣4，設經過點P且平行于CE的直線解析式為y＝2x+b

由x2﹣4x﹣4＝2x+b，得x2﹣6x﹣4﹣b＝0，△＝（﹣6）2﹣4（﹣4﹣b）＝52+4b，

∵△＝0時，點P到CE的距離PH最大，∴52+4b＝0，即：b＝﹣13

∴y＝2x﹣13，解方程組得

∴P（3，﹣7）

如圖1，過點P作PQ⊥x軸于點Q，∵PE+PF+OF中PE是定值，

∴PE+PF+OF的最小即PF+OF最小，令FM＝OF，則PF+OF＝PF+FM＝PM

此時＝，∵∠OGF+∠GOM＝∠GOM+∠FOM＝90°

∴∠OGF＝∠FOM，

∵∠FOG＝∠FMO＝90°

∴△FOG∽△FMO

∴＝＝

∴＝

∵△GPQ∽△GFO

∴＝＝

∴QG＝，

∴G（﹣，0）

∴PG＝，GM＝

∴PM＝PG﹣GM＝，

在△PEQ中，PE＝＝＝5

∴PE+PF+OF的最小值＝5+；

（2）①如圖2，點M′在第三象限，∵△OF′K是以OK為底的等腰三角形，∴OF′＝KF′＝3，F′M′＝

∴M′K＝KF′﹣F′M′＝，

∴OK＝＝＝，

設M′（m，n），則﹣nOK＝KM′M′O

∴﹣n＝×，解得：n＝﹣，

∵tan∠KOM′＝＝，即﹣×＝m

∴m＝﹣，

∴M′（﹣，﹣）；

②如圖3，點M′在第二象限，OF′＝KF′，作F′H⊥x軸于H，作M′R⊥y軸于R，

∵OF′＝KF′，F′H⊥x軸

∴OH＝HK，

∵KM′＝KF′+F′M′＝3+＝，

∴OK＝＝＝

∵∠ORM′＝∠KM′O＝90°，∠ROM′+∠KOM′＝∠OKM′+∠KOM′＝90°

∴∠ROM′＝∠OKM′

∴△OM′R∽△KOM′

∴＝＝，即：＝＝

∴M′R＝，OR＝，

∴M′（﹣，）；

③如圖4，作M′G⊥x軸于G，點M′在第一象限，OF′＝KF′，∵F′O＝F′K＝3，M′K＝3﹣＝，

∴OK＝＝＝，M′G＝＝＝，

∵tan∠M′OK＝＝＝＝

∴OG＝，

∴M′（，）；

④如圖5，點M′在第四象限，作M′G⊥x軸于G，∵F′K＝OF′＝3

∴M′K＝M′F′+F′K＝+3＝

∴OK＝＝＝

∴M′G＝＝，OG＝＝，

∴M′（，﹣）；

綜上所述，點M′的坐標為：（﹣，﹣）或（﹣，）或（，）或（，﹣）．