Question

【題目】某公司研發了一款新型玩具，成本為每個50元，投放市場進行試銷售．其銷售單價不低于成本，按照物價部門規定，銷售利潤率不高于70%，市場調研發現，在一段時間內，每天銷售數量y（個）與銷售單價x（元）（x為整數）符合一次函數關系，如圖所示

（1）求出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）該公司要想每天獲得3000元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元？

（3）銷售單價為多少元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？

Answer 1

【答案】（1）y=-2x+260（）；（2）80元；（3）銷售單價為85元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是3150元

【解析】

（1）由待定系數法可得函數的解析式；
（2）根據利潤等于每件的利潤乘以銷售量，列方程可解；
（3）設每天獲得的利潤為w元，由題意得二次函數，寫成頂點式，可求得答案．

解：（1）設y=kx+b（k≠0，b為常數）

將點（60，140），（70，120）代入得：

，解得，

∴y與x的函數關系式為：y=-2x+260，

解不等式組，

得：且x為整數；

（2）由題意得：，

化簡得：x2-180x+8000=0，

解得：x1=80，x2=100，

∵=85，

∴x2=100＞85（不符合題意，舍去）

答：銷售單價為80元；

（3）設每天獲得的利潤為w元，由題意得，

，

=-2x2+360x-13000

=-2(x-90)2+3200

∵a=-2＜0，拋物線開口向下，

∴w有最大值，

∵，

∴當x=85時，w最大值=3150，

答：銷售單價為85元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是3150元.