Question

【題目】如圖，分別是可活動的菱形和平行四邊形學具，已知平行四邊形較短的邊與菱形的邊長相等．

（1）在一次數學活動中，某小組學生將菱形的一邊與平行四邊形較短邊重合，擺拼成如圖1所示的圖形，AF經過點C，連接DE交AF于點M，觀察發現：點M是DE的中點．

下面是兩位學生有代表性的證明思路：

思路1：不需作輔助線，直接證三角形全等；

思路2：不證三角形全等，連接BD交AF于點H．…

請參考上面的思路，證明點M是DE的中點（只需用一種方法證明）；

（2）如圖2，在（1）的前提下，當∠ABE=135°時，延長AD、EF交于點N，求的值；

（3）在（2）的條件下，若=k（k為大于的常數），直接用含k的代數式表示的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】試題分析：（1）證法一，利用菱形性質得AB=CD，AB∥CD，利用平行四邊形的性質得AB=EF，AB∥EF，則CD=EF，CD∥EF，再根據平行線的性質得∠CDM=∠FEM，則可根據“AAS”判斷△CDM≌△FEM，所以DM=EM；

證法二，利用菱形性質得DH=BH，利用平行四邊形的性質得AF∥BE，再根據平行線分線段成比例定理得到=1，所以DM=EM；

（2）由△CDM≌△FEM得到CM=FM，設AD=a，CM=b，則FM=b，EF=AB=a，再證明四邊形ABCD為正方形得到AC=a，接著證明△ANF為等腰直角三角形得到NF=a+b，則NE=NF+EF=2a+b，然后計算的值；

（3）由于= ==k，則 =，然后表示出 ==，再把 =代入計算即可．

試題解析：解：（1）如圖1，證法一：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=CD，AB∥CD，∵四邊形ABEF為平行四邊形，∴AB=EF，AB∥EF，∴CD=EF，CD∥EF，∴∠CDM=∠FEM，在△CDM和△FEM中，∵∠CMD=∠FME，∠CDM=∠FEM，CD=EF，∴△CDM≌△FEM，∴DM=EM，即點M是DE的中點；

證法二：∵四邊形ABCD為菱形，∴DH=BH，∵四邊形ABEF為平行四邊形，∴AF∥BE，∵HM∥BE，∴ =1，∴DM=EM，即點M是DE的中點；

（2）∵△CDM≌△FEM，∴CM=FM，設AD=a，CM=b，∵∠ABE=135°，∴∠BAF=45°，∵四邊形ABCD為菱形，∴∠NAF=45°，∴四邊形ABCD為正方形，∴AC=AD=a，∵AB∥EF，∴∠AFN=∠BAF=45°，∴△ANF為等腰直角三角形，∴NF=AF=（a+b+b）=a+b，∴NE=NF+EF=a+b+a=2a+b，∴ = =；

（3）∵= ==k，∴=，∴ =，∴ == ==．