Question

【題目】如圖，已知∠AOB，以O為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交OA，OB于F，E兩點，再分別以E，F為圓心，大于EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點P，作射線OP，過點F作FD∥OB交OP于點D.

(1)若∠OFD＝116°，求∠DOB的度數；

(2)若FM⊥OD，垂足為M，求證：△FMO≌△FMD.

Answer 1

【答案】（1）32°；（2）見解析.

【解析】

（1）首先根據OB∥FD，可得∠0FD+∠A0B=18O°，進而得到∠AOB的度數，再根據作圖可知OP平分∠AOB，進而算出∠DOB的度數即可；

（2）首先證明∴∠A0D=∠ODF，再由FM⊥0D可得∠OMF=∠DMF，再加上公共邊FM=FM可利用AAS證明△FMO≌△FMD．

（1）∵OB∥FD，

∴∠0FD+∠A0B=18O°，

又∵∠0FD=116°，

∴∠A0B=180°﹣∠0FD=180°﹣116°=64°，

由作法知，0P是∠A0B的平分線，

∴∠D0B=∠A0B=32°；

（2）證明：∵0P平分∠A0B，

∴∠A0D=∠D0B，

∵0B∥FD，

∴∠D0B=∠ODF，

∴∠A0D=∠ODF，

又∵FM⊥0D，

∴∠OMF=∠DMF，

在△MFO和△MFD中

，

∴△MFO≌△MFD（AAS）．