Question

【題目】如圖，.

（1）如圖①，在平面直角坐標系中，以為頂點，為腰在第三象限作等腰，若，求點的坐標；

（2）如圖②，為軸負半軸上一個動點，以為頂點，為腰作等腰，過作軸于點，當點沿軸負半軸向下運動時，試問的值是否發生變化？若不變，求其值，若變化，請說明理由；

（3）如圖③，已知點坐標為，是軸負半軸上一點，以為直角邊作等腰，點在軸上，，設、，當點在軸的負半軸上沿負方向運動時，的和是否發生變化？若不變，求其值；若變化，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）C點的坐標為（-6，-2）；（2）OP-DE的值不變，值為2；（3）m+n的和不變，值為-8．

【解析】

（1）作CD⊥x軸于D，證明△ACD≌△BAO，根據全等三角形的性質得到DC=OA=2，AD=OB=4，計算即可；
（2）作DF⊥y軸于F，證明△APO≌△DPF，得到PF=OA=2，DF=OP，結合圖形計算；
（3）作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，仿照（2）的證明過程解答．

解：（1）作CD⊥x軸于D，

∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
在△ACD和△BAO中，

，
∴△ACD≌△BAO，
∴DC=OA=2，AD=OB=4，
∴OD=6，
∴C點的坐標為（-6，-2）；

（2）OP-DE的值不變，值為2，
理由如下：作DF⊥y軸于F，
∴∠PDF+∠DPF=90°，
∵∠APD=90°，
∴∠APO+∠DPF=90°，
∴∠APO=∠PDF，
在△APO和△DPF中，

，
∴△APO≌△DPF，
∴PF=OA=2，DF=OP，
∴OP-DE=OP-OF=PF=2；

（3）m+n的和不變，值為-8，
理由如下：作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，
由（2）可知，△HNF≌△GNF，
∴GN=MH，FN=FM=OM=4，
m+n=-（OG-OH）=-（GN+ON-MH+OM）=-（ON+OM）=-8．

故答案為：（1）C點的坐標為（-6，-2）；（2）OP-DE的值不變，值為2；（3）m+n的和不變，值為-8．