Question

【題目】如圖1，在中，，，點，分別在邊AC，BC上，，連接BD，點F，P，G分別為AB，BD，DE的中點.

（1）如圖1中，線段PF與PG的數量關系是 ，位置關系是 ；

（2）若把△ CDE繞點C逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接AD，BE，GF，判斷△ FGP的形狀，并說明理由；

（3）若把△ CDE繞點C在平面內自由旋轉，AC=8，CD=3，請求出△FGP面積的最大值.

Answer 1

【答案】1）PF=PG PF⊥PG；（2）△FGP是等腰直角三角形，理由見解析；（3）S△PGF最大=.

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質和三角形的中位線定理解答即可；

（2）由旋轉知，∠ACD=∠BCE，進一步證明△CAD≌△CBE，再利用全等三角形的判定和性質以及三角形中位線定理解答；

（3）由（2）知，△FGP是等腰直角三角形，PG=PF=AD，PG最大時，△FGP面積最大，進而解答即可.

解（1）PF=PG PF⊥PG；

如圖1，∵在△ABC中，AB=BC，點，分別在邊AC，BC上，且CD=CE,

∴AC-CD=BC-CE，即AD=BE，點F、P、G分別為DE、DC、BC的中點，

∴PF=AB，PG=CE，

∴PF=PG，

∵點F、P、G分別為DE、DC、BC的中點，

∴PG//BE，PF//AD，

∴∠PFB=∠A，∠DPG=∠DBC，

∴∠FPG=∠DPF+∠DPG

=∠PFB+∠DBA+∠DPG

=∠A+∠DBA+∠DBC

=∠A+∠ABC，

∵∠ABC+∠ACB=180°-∠C

∴∠FPG=180°-90°=90°，PF⊥PG；

（2）△FGP是等腰直角三角形

理由：由旋轉知，∠ACD=∠BCE，

∵AC=BC，CD=CE，

∴△CAD≌△CBE（SAS），

∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，

利用三角形的中位線得，PG=BE，PF=AD，

∴PG=PF，

∴△FGP是等腰三角形，

利用三角形的中位線得，PG∥CE，

∴∠DPG=∠DBE，

利用三角形的中位線得，PF∥AD，

∴∠PFB=∠DAB，

∵∠DPF=∠DBA+∠PNB=∠DBA+∠DAB，

∴∠GPF=∠DPG+∠DPF=∠DBE+∠DBA+∠DAB

=∠ABE+∠DAB=∠CBA+∠CBE+∠DAB

=∠CBA+∠CAD+∠DAB=∠CBA+∠CAB，

∵∠ACB=90°，

∴∠CBA+∠CAB=90°，

∴∠GPF=90°，

∴△FGP是等腰直角三角形;

（3）由（2）知，△FGP是等腰直角三角形，PG=PF=AD，

∴PG最大時，△FGP面積最大，

∴點D在AC的延長線上，

∴AD=AC+CD=11，

∴PG=，

∴S△PGF最大=PG2=