Question

【題目】如圖1，E是正方形ABCD邊AB上的一點，連接BD、DE，將∠BDE繞點D逆時針旋轉90，旋轉后角的兩邊分別與射線BC交于點F和點G．

（1）探究線段BE、BF和DB之間的數量關系，寫出結論并給出證明；

（2）當四邊形ABCD為菱形，∠ADC=60，點E是菱形ABCD邊AB所在直線上的一點，連接BD、DE，將∠BDE繞點D逆時針旋轉120，旋轉后角的兩邊分別與射線BC交于點F和點G．

①如圖2，點E在線段AB上時，請探究線段BE、BF和BD之間的數量關系，寫出結論并給出證明；

②如圖3，點E在線段AB的延長線上時，DE交射線BC于點M．若BE=1，AB=2，直接寫出線段GM的長度．

Answer 1

【答案】（1），證明見解析；（2）①，證明見解析；②

【解析】

（1）根據旋轉的性質可證得△BDG是等腰直角三角形，得到，再證明△FDG≌△EDB（ASA），得到FG=BE即可得到；

（2）①根據菱形的性質以及旋轉的性質可得∠DBG=∠G=30°，從而證明△EDB≌△FDG（ASA），得到BF+BE=BF+FG=BG，過點D作DP⊥BG于點P，利用勾股定理及等腰三角形的性質得到BG=，從而得出即可；
②過點A作AN⊥BD交BD于點N，根據含30°直角三角形的性質及等腰三角形的性質，計算BD和BF的長，根據平行線分線段成比例定理可得BM的長，根據線段的差可得結論．

解：（1），

理由：由旋轉可知，∠BDE=∠FDG，∠BDG=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠CBD=45°，

∴∠G=45°，

∴∠G=∠CBD=45°，

∴BD=DG，

△BDG是等腰三角形，

∴，

∵在△FDG與△EDB中，

∠FDG=∠EDB，∠G=∠DBE=45°，BD=DG，

∴△FDG≌△EDB（ASA），

∴FG=BE

∴BE+BF=FG+BF=BG=，

∴

（2）①

理由：如圖2，在菱形ABCD中，∠ADB=∠CDB=∠ADC=30°，

由旋轉120°可知，∠EDF=∠BDG=120°，∠EDB=∠FDG，

在△DBG中，∠G=180°-120°-30°=30°，

∴∠DBG=∠G=30°，

DB=DG，

∴△EDB≌△FDG（ASA），

∴BE=FD，

∴BF+BE=BF+FG=BG，

過點D作DP⊥BG于點P，

∵BD=DG，∴BG=2BP，

∵∠DBC=30°，

∴DP=，

∴在Rt△BDP中，，

∴BG=

∴

②如圖3，過點A作AN⊥BD交BD于點N，

在Rt△ABN中，∠ABN=30°，AB=2，

∴AN=1，BN=，

∴BD=2BN=2，

∵DC∥BE，

∴，

∵CM+BM=2，

∴BM=，

Rt△BDP中，∠DBP=30°，BD=2，

∴BP=3

由旋轉得：BD=FD，

∴BF=2BP=6，

∴GM =BG-BM=6+1-=．