Question

【題目】如圖1，一次函數y=﹣x+10的圖象交x軸于點A，交y軸于點B．以P（1，0）為圓心的⊙P與y軸相切，若點P以每秒2個單位的速度沿x軸向右平移，同時⊙P的半徑以每秒增加1個單位的速度不斷變大，設運動時間為t（s）

（1）點A的坐標為　 　，點B的坐標為　 　，∠OAB=　 　°；

（2）在運動過程中，點P的坐標為　 　，⊙P的半徑為　 　（用含t的代數式表示）；

（3）當⊙P與直線AB相交于點E、F時

①如圖2，求t=時，弦EF的長；

②在運動過程中，是否存在以點P為直角頂點的Rt△PEF，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由（利用圖1解題）．

Answer 1

【答案】（1）（10，0），（0，10），45°．（2）（1+2t，0），1+t．（3）.

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法求出點A、B的坐標，即可解決問題．
（2）根據題意可得P（1+2t，0），⊙O半徑為1+t．
（3）①如圖1中，作PK⊥AB于K，連接PE．在Rt△APK中，由∠PKA=90°，∠PAK=45°，PA=4，推出PK=PA=2 ，在Rt△PEK中，根據EK=計算即可．
②分兩種情形a、如圖2中，當點P在點A左側時，點F與點A重合時，∠EPF=90°；b、如圖3中，當點P在點A右側時，點F與點A重合時，∠EPF=90°．分別列出方程求解即可.

試題解析：

解：（1）∵y=﹣x+10的圖象交x軸于點A，交y軸于點B，

∴A（10，0），B（0，10），

∴OA=OB=10，

∵∠AOB=90°，

∴∠OAB=∠OBA=45°，

故答案分別為（10，0），（0，10），45°．

（2）由題意P（1+2t，0），⊙O半徑為1+t，

故答案分別為（1+2t，0），1+t．

（3）①如圖1中，作PK⊥AB于K，連接PE．

當t=時，P（6，0），半徑為3.5，

在Rt△APK中，∵∠PKA=90°，∠PAK=45°，PA=4，

∴PK=，PA=2，

在Rt△PEK中，EK==，

∴EF=2EK=．

②存在．

a、如圖2中，當點P在點A左側時，點F與點A重合時，∠EPF=90°

∵OP+PA=OA，

∴1+2t+1+t=10，

∴t=．

b、如圖3中，當點P在點A右側時，點F與點A重合時，∠EPF=90°．

由OP﹣PF=OA，

∴1+2t﹣（1+t）=10，

∴t=10，

綜上所述，t=s或10s時，存在以點P為直角頂點的Rt△PEF．