Question

【題目】（給出定義）

若四邊形的一條對角線能將四邊形分割成兩個相似的直角三角形，那么我們將這種四邊形叫做“跳躍四邊形”，這條對角線叫做“跳躍線”．

（理解概念）

（1）命題“凡是矩形都是跳躍四邊形”是什么命題（“真”或“假”）．

（2）四邊形ABCD為“跳躍四邊形”，且對角線AC為“跳躍線”，其中AC⊥CB，∠B=30°，AB=4，求四邊形ABCD的周長．

（實(shí)際應(yīng)用）已知拋物線y=ax2+m（a≠0）與x軸交于B（﹣2，0），C兩點(diǎn)，與直線y=2x+b交于A，B兩點(diǎn)．

（3）直接寫出C點(diǎn)坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式．

（4）在線段AB上有一個點(diǎn)P，在射線BC上有一個點(diǎn)Q，P，Q兩點(diǎn)分別以個單位/秒，5個單位/秒的速度同時從B出發(fā)，沿BA，BC方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t，當(dāng)其中一個點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．在第一象限的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形BQMP是以PQ為“跳躍線”的“跳躍四邊形”，若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】【理解概念】（1）凡是矩形都是跳躍四邊形是真命題；（2）四邊形ABCD的周長為12+4或12+8或9+5；【實(shí)際應(yīng)用】（3），；（4）使得四邊形BQMP是以PQ為“跳躍線”的“跳躍四邊形”的時間t的值為：t=，t=，t=，t=.

【解析】

理解概念：（1）由定義可直接得；

（2）分情況∠DAC=90°和∠ADC=90°兩種情況討論，可求四邊形ABCD的周長；

實(shí)際應(yīng)用：（3）根據(jù)點(diǎn)B，點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱，可求點(diǎn)C坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求拋物線解析式；

（4）由題意可證△ABO∽△BPQ，可證PQ⊥AB，四邊形BQMP是以PQ為“跳躍線”的“跳躍四邊形”，可得△BPQ∽△PQM，分∠PQM=90°或∠PMQ=90°兩種情況討論，可求t的值．

理解概念：（1）∵矩形的對角線所分的兩個三角形全等

∴凡是矩形都是跳躍四邊形是真命題

故答案為：凡是矩形都是跳躍四邊形是真命題．

（2）∵AC⊥BC，∠B=30°，AB=4

∴AC=2，BC=6

當(dāng)∠CAD=90°時，

如圖1：

∵四邊形ABCD為“跳躍四邊形”

∴△ABC∽△CAD

∴ 或

∴AD=2，CD=4或AD=6，CD=4

∴四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=2+4+4+6=12+4

或四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=6+4+6+4=12+8

若∠ADC=90°

如圖2：

∵四邊形ABCD為“跳躍四邊形”

∴△ABC∽△CAD

∴ 或

∴AD=，CD=3或AD=3，CD=

∴四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=6+4+3+=9+5

或四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=6+4+3+=9+5

綜上所述：四邊形ABCD的周長為12+4或12+8或9+5

實(shí)際應(yīng)用：（3）∵拋物線y=ax2+m（a≠0）與x軸交于B（﹣2，0），C兩點(diǎn)

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m），對稱軸為y軸，點(diǎn)B，點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱

∴點(diǎn)C（2，0）

∵拋物線y=ax2+m與直線y=2x+b交于點(diǎn)A，點(diǎn)B

∴

∴m=b=4，a=﹣1

∴拋物線解析式y(tǒng)=﹣x2+4

∵P，Q兩點(diǎn)分別以 個單位/秒，5個單位/秒的速度

∴設(shè)運(yùn)動時間為t

∴BP=t，BQ=5t

∵點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B（﹣2，0）

∴OA=4，OB=2

∴AB=2

∵且∠ABO=∠PBQ

∴△ABO∽△PBQ

∴∠AOB=∠BPQ=90°

∵四邊形BQMP是以PQ為“跳躍線”的“跳躍四邊形

∴△BPQ∽△PQM

∴△PQM是直角三角形

①若∠PQM=90°時，且BP與QM是對應(yīng)邊，作PD⊥BC，作ME⊥BC．

如圖3

∵△BPQ∽△PQM

∴

∴BP=QM，PM=BQ

∴四邊形BPMQ是平行四邊形

∴BP∥QM

∴∠PBD=∠MQE

∵BP=MQ，∠PBD=∠MQE，∠PDB=∠MEQ

∴△BPD≌△MQE

∴PD=ME，BD=QE

∵PD∥AO

∴

∴

∴BD=t，PD=2

∴QE=t，ME=2t

∴OE=BQ+QE﹣BO=6t﹣2

∴M（6t﹣2，2t），且點(diǎn)M在拋物線上

∴2t=﹣（6t﹣2）2+4

∴t=

②若∠PQM=90°時，且BP與PQ是對應(yīng)邊，作PD⊥BC，作ME⊥BC．

如圖4

∵△BPD∽△MQE

∴

即

∴QM=4t

∵∠BQP+∠PBQ=90°，∠BQP+∠MQE=90°

∴∠PBQ=∠MQE且∠BPQ=∠MEQ=90°

∴△BPQ∽△MEQ

∴

∴ME=8t，QE=4t

∴OE=BQ+QE﹣BO=9t﹣2

∴M（9t﹣2，8t），且點(diǎn)M在拋物線上

∴8t=﹣（9t﹣2）2+4

∴t=

③若∠PMQ=90°，BP與MQ是對應(yīng)邊，過點(diǎn)P作PD⊥BC

如圖5

∵△BPQ∽△MQP

∴∠PQB=∠MPQ

∴PM∥BC

∵M(jìn)Q⊥PM

∴MQ⊥BC，且PD⊥BC

∴MQ∥PD

∴四邊形PDQM是平行四邊形且PD⊥BC

∴四邊形PDQM是矩形

∴PD=MQ

∵BD=t，PD=2t，BQ=5t

∴QM=2t

∵OQ=BQ﹣BO=5t﹣2

∴M（5t﹣2，2t）且點(diǎn)M在拋物線上

∴2t=﹣（5t﹣2）2+4

∴t=

若若∠PMQ=90°，BP與MP是對應(yīng)邊，過點(diǎn)M作EF∥BC，過點(diǎn)P作PD⊥BC，延長DP交EF于F，

過點(diǎn)Q作EQ⊥EF于F．

如圖6

∵△BPQ∽△PMQ

∴∠MQP=∠BQP

又∵PD⊥BC，PM⊥MQ

∴PD=PM=2t

∵PD=PM，PQ=PQ

∴△PDQ≌△PQM

∴MQ=DQ=BQ﹣BD=5t﹣t=4t

∵FE∥BC，EQ⊥EF，DFBC

∴DF⊥EF，EQ⊥BC

∴四邊形EFDQ是矩形

∴EF=DQ=4t

∵∠FMP+∠FPM=90°，∠EMQ+∠FMP=90°

∴∠FPM=∠EMQ且∠E=∠MFD=90°

∴△FMP∽△MEQ

∴

∴EQ=2FM

在Rt△MEQ中，MQ2=EQ2+ME2

∴（4t）2=（2FM）2+（4t﹣FM）2

∴FM=t

∴EQ=t

∴M（t﹣2， t），且點(diǎn)M在拋物線上

∴ t=﹣（ t﹣2）2+4

∴t=

綜上所述：使得四邊形BQMP是以PQ為“跳躍線”的“跳躍四邊形”的時間t的值為：t= ，t= ，t= ，t=