Question

【題目】實踐操作

如圖①，將矩形紙片沿對角線翻折，使點落在矩形所在平面內，和相交于點E，連接．

解決問題

（1）在圖①中，

①和的位置關系為________；

②將剪下后展開，得到的圖形是________；

（2）若圖①中的矩形變為平行四邊形時（），如圖②所示，結論①和結論②是否成立，若成立，請挑選其中的一個結論加以證明，若不成立，請說明理由；

拓展應用

（3）在圖②中，若，當恰好為直角三角形時，求的長度．

Answer 1

【答案】（1）①，②菱形；（2）結論仍成立．證明見解析；（3）的長度為4或6或8或12．

【解析】

解：（1）①（平行）；

【解法提示】由折疊性質知，由矩形性質知，∴，∴，即，∴，又由題知，∴，即，∵，∴，∴．

②菱形；

【解法提示】由（1）①知，即是等腰三角形，∴剪開后得到四邊相等的四邊形即菱形．

（2）結論仍成立．

若選擇結論①，證明：

由折疊性質知，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

若選擇結論②，證明：

如圖①，設點E的對應點為F，

圖①

∵四邊形是平行四邊形，

∴，

∴，

由折疊性質知，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴四邊形為平行四邊形，

又∵，

∴四邊形為菱形；

即將剪下后展開，得到的圖形是菱形；

（3）解：情況1：如圖②，當時，即．

圖②

同（1）①易知，

∴即，

由折疊性質知，

在中，，∴；

情況2：如圖③，當時，

圖③

由翻折性質知，

∴在中，，

則，

同（1）①易知和都是等腰三角形，

∴，

∴；

情況3：如圖④，當時，即，

圖④

由得，即，

在中，，

∴；

情況4：如圖⑤，當時，

圖⑤

由平行四邊形性質得，

，

∴，

同（1）①易知和都是等腰三角形，

∴，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴．

綜上所述，的長度為4或6或8或12．