Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，F是⊙O外一點，過點F作FD⊥AB于點D，交弦AC于點E，且FC=FE．

（1）求證：FC是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為5，cos∠FCE=，求弦AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）2

【解析】

（1）連接OC，因為FC=FE，所以∠FCE=∠FEC，又因為FD⊥AB，所以∠OAC+∠AED=90°，所以∠OCA+∠FCE=90°，從而可得∠OCF=90°．

（2）連接BC，由（1）可知：∠AED=∠FCE，因為AB是⊙O的直徑，所以∠ACB=90°，由于∠CAB+∠AED=90°，∠CAB+∠B=90°，所以∠B=∠AED=∠FCE，最后利用銳角三角函數的定義即可求出答案．

（1）連接OC，

∵FC=FE，

∴∠FCE=∠FEC，

∵∠FEC=∠AED，

∴∠AED=∠FCE，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠ACO，

∵FD⊥AB，

∴∠OAC+∠AED=90°，

∴∠OCA+∠FCE=90°，

∴∠OCF=90°，

∵OC是⊙O的半徑，

∴FC是⊙O的切線；

（2）連接BC，

由（1）可知：∠AED=∠FCE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°

∵∠CAB+∠AED=90°，∠CAB+∠B=90°

∴∠B=∠AED=∠FCE，

∴cos∠FCE=cos∠B=，

∴BC=4，

∴由勾股定理可知：AC=2