Question

【題目】如圖，四邊形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半抽上，點D是OA上的一點，OC=OD=4，OA=6，點B的坐標為（4，4）．動點E從點C出發，以每秒個單位長度的速度沿線段CD向點D運動，過點E作BC的垂線EF交線段BC于點F，以線段EF為斜邊向右作等腰直角△EFG．設點E的運動時間為t秒（0≤t≤4）．

（1）點G的坐標為(　 　，　 　）（用含t的代數式表示）

（2）連接OE、BG，當t為何值時，以O、C、E為頂點的三角形與△BFG相似？

（3）設點E從點C出發時，點E、F、G都與點C重合，點E在運動過程中，當△ABG 的面積為時，求點E運動的時間t的值，并直接寫出點G從出發到此時所經過的路徑長　 　（即線段AG的長）．

Answer 1

【答案】（1）t，4﹣ t；（2）t=2或2 ﹣2（3）

【解析】分析：（1）依據△CDO和△CEF均為等腰直角三角形，CE=t，即可得到點G的坐標；

（2）依據∠OCE=∠BFG=45°，分兩種情況進行討論：①若△OCE∽△BFG，則，②若△ECO∽△BFG，則，分別求得t的值即可；

（3）過點G作GH∥x軸，交AB于H，根據直線AB的解析式為y=-2x+12，根據G（t，4-t），將y=4-t代入y=-2x+12，可得H（4+，4-t），再根據△ABG 的面積為，即可得到t的值，進而得到點G的坐標為（，），CG=．

詳解：（1）由題可得，△CDO和△CEF均為等腰直角三角形，

∵CE=t，

∴CF=EF=t，

∴點G的橫坐標為CF+EF=t+t=t，縱坐標為CO-EF=4-t，

∴G（t，4-t），

故答案為：t，4-t；

（2）∵CE=t，

∴EF=CF=t，FG=t，BF=4-t，

∵∠OCE=∠BFG=45°，

①若△OCE∽△BFG，則，

即，解得t=2；

②若△ECO∽△BFG，則，

即，解得t=2-2；

綜上所述，當t=2或2-2時，以O、C、E為頂點的三角形與△BFG相似；

（3）如圖，過點G作GH∥x軸，交AB于H，

設直線AB的解析式為y=kx+b，則

，解得，

∴y=-2x+12，

∵G（t，4-t），將y=4-t代入y=-2x+12，可得x=4+，

∴H（4+，4-t），

∴GH=|4+-t|，

∴S△ABG=GH×BD=|4+-t|×4=2|4-t|，

又∵△ABG 的面積為，

∴2|4-t|=，

解得t=或t=（舍去），

此時，點G的坐標為（，），CG=．

故答案為：．