Question

【題目】一個直角三角形的兩條直角邊分別為、 ，斜邊為.我國古代數學家趙爽用四個這樣的直角三角形拼成了如圖的正方形，

（1）探究活動：如圖1，中間圍成的小正方形的邊長為 （用含有、的代數式表示）；

（2）探究活動：如圖1，用不同的方法表示這個大正方形的面積，并寫出你發現的結論；

圖1 圖2

（3）新知運用：根據你所發現的結論完成下列問題.

①某個直角三角形的兩條直角邊、滿足式子，求它的斜邊的值；

②由①中結論，此三角形斜邊上的高為 ．

③如圖2，這個勾股樹圖形是由正方形和直角三角形組成的，若正方形、、、的面積分別為，4， ， ．則最大的正方形的邊長是 ．

Answer 1

【答案】（1）b-a; (2) ;(3) ① , ②2.4, ③3

【解析】分析：(1)小正方形的邊長為較長的直角邊減去較短的直角邊；(2)大正方形的面積等于4個直角三角形的面積＋中間的小正方形的面積；(3)①把原式用完全平方差公式化為非負數的和求a，b后，用勾股定理求c；②用三角形的面積公式求斜邊上的高；③分別以直角三角形斜邊，直角邊向外作正方形，則以斜邊為邊的正方形的面積等于以直角邊為邊的正方形的面積的和.

詳解：(1)中間圍成的小正方形的邊長為較長的直角邊減去較短的直角邊，即b－a；

(2)因為大正方形的面積等于4個直角三角形的面積＋中間的小正方形的面積，

所以c2＝4××ab＋(b－a)2，化簡得a2＋b2＝c2.

(3)①a2＋2b2－6a－16b＋41＝0，

則a2－6a＋9＋2b2－16b＋32＝0，

即(a－3)2＋2(b－4)2＝0，

所以a－3＝0，b－4＝0，則a＝3，b＝4.

由勾股定理得c＝＝5.

②設斜邊c上的高為h，

因為2S＝ab＝ch，所以3×4＝5h，解得h＝2.4.

③由圖可知，正方形E的面積等于正方形A，B，C，D的面積的和，

所以正方形E的面積為2＋4＋1＋2＝9，

所以正方形E的邊長為3.