Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，將△ABC繞點B逆時針方向旋轉得到△PBQ，旋轉角為α，且45°＜α＜90°．

（1）連接AP，CQ，則＝　 　；

（2）若QD⊥BC，垂足為點D，∠BQD＝15°，QD與PB交于點E，∠BEQ的平分線EF交AB的延長線于點F．

①求旋轉角α的大小；

②求∠F的度數；

③求證：EQ+EB＝EF．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①75°；②15°；③證明見解析

【解析】

（1）根據題意利用相似三角形的判定與性質通過證明△ABP∽△CBQ，可得＝；

（2）①根據題意由直角三角形的性質可求∠CBQ=75°，即可求解；

②根據題意直接由三角形的外角性質進行分析即可求解；

③由題意在EF上截取EH=EB，連接BH，由“AAS”可證△BHF≌△BEQ，可得EQ=HF，進而即可得出結論．

解：（1）∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴AB＝BC，∠ABC＝45°＝∠BAC

∵將△ABC繞點B逆時針方向旋轉得到△PBQ，

∴∠ABC＝∠PBQ＝45°，AB＝BP，BC＝BQ，

∴∠ABP＝∠CBQ，，

∴△ABP∽△CBQ，

∴＝，

故答案為：；

（2）①∵QD⊥BC，

∴∠QDB＝90°，且∠BQD＝15°，

∴∠CBQ＝75°，

∴旋轉角α為75°；

②∵∠DBE＝∠CBQ﹣∠PBQ＝75°﹣45°＝30°，

∴∠DEB＝60°，∠ABP＝75°，

∴∠BEQ＝120°，

∵EF平分∠BEQ，

∴∠BEF＝60°，

∵∠ABP＝∠F+∠BEF，

∴∠F＝75°﹣60°＝15°；

③如圖，在EF上截取EH＝EB，連接BH，

∵EB＝EH，∠BEF＝60°，

∴△BEH是等邊三角形，

∴BE＝BH＝EH，∠BHE＝60°，

∴∠BHF＝∠BEQ＝120°，且∠F＝∠BQD＝15°，BE＝BH，

∴△BHF≌△BEQ（AAS）

∴EQ＝HF，

∴EQ+EB＝HF+EH＝EF．