Question

【題目】感知：如圖①，點E在正方形ABCD的BC邊上，BF⊥AE于點F，DG⊥AE于點G．可知△ADG≌△BAF.（不要求證明）

拓展：如圖②，點B、C在∠MAN的邊AM、AN上，點E, F在∠MAN內部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求證：△ABE≌△CAF.

應用：如圖③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．點D在邊B上．CD=2BD.點E, F在線段AD上．∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面積為9，則△ABE與△CDF的面積之和為_________.

Answer 1

【答案】拓展：證明見解析；應用：6

【解析】

拓展：證明：如圖②

∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC。

∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，

∴∠BAC=∠ABE+∠3。∴∠4=∠ABE。

∵∠AEB=∠AFC，∠ABE=∠4，AB=AC，

∴△ABE≌△CAF（AAS）。

應用：6。

拓展：利用∠1=∠2=∠BAC，利用三角形外角性質得出∠4=∠ABE，從而利用AAS證明△ABE≌△CAF。

應用：首先根據△ABD與△ADC等高，底邊比值為：1：2，得出△ABD與△ADC面積比為：1：2，再證明△ABE≌△CAF，即可得出△ABE與△CDF的面積之和為△ADC的面積得出答案即可：

如圖③

∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD=2BD，

∴△ABD與△ADC等高，底邊比值為：1：2。

∴△ABD與△ADC面積比為：1：2。

∵△ABC的面積為9，∴△ABD與△ADC面積分別為：3，6。

∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC。

∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，

∴∠BAC=∠ABE+∠3。∴∠4=∠ABE。

∵∠AEB=∠AFC，∠ABE=∠4，AB=AC。∴△ABE≌△CAF（AAS）。

∴△ABE與△CAF面積相等，∴△ABE與△CDF的面積之和為△ADC的面積。

∴△ABE與△CDF的面積之和為6。