Question

【題目】如圖，拋物線 與直線 交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標是2．點P在直線AB上方的拋物線上，過點P分別作PC∥y軸、PD∥x軸，與直線AB交于點C、D，以PC、PD為邊作矩形PCQD，設點Q的坐標為（m，n）．

（1）點A的坐標是 ， 點B的坐標是；
（2）求這條拋物線所對應的函數關系式；
（3）求m與n之間的函數關系式（不要求寫出自變量n的取值范圍）；
（4）請直接寫出矩形PCQD的周長最大時n的值．

Answer 1

【答案】
（1）（﹣2，0）；（2，2）
（2）

解：由題意，得 ，

解得

所以，這條拋物線所對應的函數關系式為y=﹣ x2+ x+3；

（3）

解：∵點Q的坐標為（m，n），

∴ x+1=n，

解得x=2n﹣2，

所以，點C的坐標為（2n﹣2，n），

點D的坐標為（m， m+1），

∴點P的坐標為（2n﹣2， m+1），

將（2n﹣2， m+1）代入y=﹣ x2+ x+3，得﹣ ×（2n﹣2）2+ ×（2n﹣2）+3= m+1，

整理得，m=﹣4n2+10n﹣2，

所以，m，n之間的函數關系式是m=﹣4n2+10n﹣2；

（4）

解：∵C（2n﹣2，n），P（2n﹣2， m+1），Q（m，n），

∴PC= m+1﹣n，CQ=m﹣（2n﹣2）=m﹣2n+2，

∴矩形PCQD的周長=2（ m+1﹣n+m﹣2n+2），

=3m﹣6n+6，

=3（﹣4n2+10n﹣2）﹣6n+6，

=﹣12n2+24n，

=﹣12（n﹣1）2+12，

∴當n=1時，矩形PCQD的周長最大．

【解析】解：（1）令y=0，則 x+1=0，
解得x=﹣2，
所以，點A（﹣2，0），
∵點B的橫坐標是2，
∴y= ×2+1=2，
∴B（2，2）；
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．