Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，過矩形ABCD的對角線交點O作直線分別交CD、AB于點E、F，連接AE，若△AEF是等腰三角形，則DE=______．

Answer 1

【答案】或2

【解析】

連接AC，如圖1所示：由矩形的性質得到∠D=90°，AD=BC=4，OA=OC，AB∥DC，求得∠OAF=∠OCE，根據全等三角形的性質得到AF=CE，若△AEF是等腰三角形，分三種情討論：

①當AE=AF時，如圖1所示：設AE=AF=CE=x，則DE=6-x，根據勾股定理即可得到結論；

②當AE=EF時，作EG⊥AF于G，如圖2所示：設AF=CE=x，則DE=6-x，AG=x，列方程即可得到結論；

③當AF=FE時，作FH⊥CD于H，如圖3所示：設AF=FE=CE=x，則BF=6-x，則CH=BF=6-x，根據勾股定理即可得到結論．

解：連接AC，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=90°，AD=BC=4，OA=OC，AB∥DC，

∴∠OAF=∠OCE，

在△AOF和△COE中，，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴AF=CE，

若△AEF是等腰三角形，分三種情討論：

①當AE=AF時，如圖1所示：

設AE=AF=CE=x，則DE=6-x，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：42+（6-x）2=x2，

解得：x=，即DE=；

②當AE=EF時，

作EG⊥AF于G，如圖2所示：

則AG=AE=DE，

設AF=CE=x，則DE=6-x，AG=x，

∴x=6-x，解得：x=4，

∴DE=2；

③當AF=FE時，作FH⊥CD于H，如圖3所示：

設AF=FE=CE=x，則BF=6-x，則CH=BF=6-x，

∴EH=CE-CH=x-（6-x）=2x-6，

在Rt△EFH中，由勾股定理得：42+（2x-6）2=x2，

整理得：3x2-24x+52=0，

∵△=（-24）2-4×3×52＜0，

∴此方程無解；

綜上所述：△AEF是等腰三角形，則DE為或2；

故答案為：或2．