Question

【題目】小宇將兩張長為8寬為2的矩形條交叉如圖①，發現重疊部分可能是一個菱形．

（1）請你幫助小宇證明四邊形ABCD是菱形．

（2）小宇又發現：如圖②時，菱形ABCD的周長最小，等于　 　；

（3）如圖③時菱形ABCD的周長最大，求此時菱形ABCD的周長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）8；（3）17

【解析】

（1）首先可判斷重疊部分為平行四邊形，且兩條紙條寬度相同；再由平行四邊形的面積可得鄰邊相等，則重疊部分為菱形；

（2）根據垂線段最短，當兩紙條垂直放置時，菱形的周長最小，邊長等于紙條的寬度；

（3）當菱形的一條對角線為矩形的對角線時，周長最大，作出圖形，設邊長為x，表示出CE＝8﹣x，再利用勾股定理列式計算求出x，然后根據菱形的四條邊都相等列式進行計算即可得解．

（1）證明：如圖①，過點A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，

∵兩條紙條寬度相同（對邊平行），

∴AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵SABCD＝BCAE＝CDAF，

又∵AE＝AF，

∴BC＝CD，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）如圖②，當兩紙條互相垂直時，菱形的周長最小，此時菱形的邊長等于紙條的寬，為2，

所以，菱形的周長＝4×2＝8．

故答案是：8；

（3）如圖③，菱形的一條對角線與矩形的對角線重合時，周長最大，

設AB＝BC＝x，則CE＝8﹣x，

在Rt△DCE中，DC2＝DE2+CE2，

即x2＝（8﹣x）2+22，

解得x＝，

所以，菱形的周長＝4×＝17．