Question

【題目】在平面直角坐標系中，我們定義直線為拋物線（、、為常數，）的“夢想直線”；有一個頂點在拋物線上，另一個頂點在軸上的三角形為其“夢想三角形”．

已知拋物線與其“夢想直線”交于、兩點（點在點的左側），與軸負半軸交于點．

（1）填空：該拋物線的“夢想直線”的解析式為 ，點的坐標為 ，點的坐標為 ；

（2）如圖，點為線段上一動點，將以所在直線為對稱軸翻折，點的對稱點為，若為該拋物線的“夢想三角形”，求點的坐標；

（3）當點在拋物線的對稱軸上運動時，在該拋物線的“夢想直線”上，是否存在點，使得以點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點、的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），（﹣2，），（1，0）；（2）（0，﹣3）或（0，+3）；（3）存在，E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）.

【解析】

試題分析：（1）由夢想直線的定義可求得其解析式，聯立夢想直線與拋物線解析式可求得A、B的坐標；

（2）過A作AD⊥y軸于點D，則可知AN=AC，結合A點坐標，則可求得ON的長，可求得N點坐標；

（3）當AC為平行四邊形的一邊時，過F作對稱軸的垂線FH，過A作AK⊥x軸于點K，可證△EFH≌△ACK，可求得DF的長，則可求得F點的橫坐標，從而可求得F點坐標，由HE的長可求得E點坐標；當AC為平行四邊形的對角線時，設E（﹣1，t），由A、C的坐標可表示出AC中點，從而可表示出F點的坐標，代入直線AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐標．

試題解析：（1）∵拋物線，

∴其夢想直線的解析式為，

聯立夢想直線與拋物線解析式可得，解得或，

∴A（﹣2，），B（1，0），

故答案為：，（﹣2，），（1，0）；

（2）如圖1，過A作AD⊥y軸于點D，

在中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，

∴C（﹣3，0），且A（﹣2，），

∴，

由翻折的性質可知AN=AC=，

∵△AMN為夢想三角形，∴N點在y軸上，且AD=2，

在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=，

∵OD=，∴ON=﹣3或ON=+3，

∴N點坐標為（0，﹣3）或（0，+3）；

（3）①當AC為平行四邊形的邊時，如圖2，過F作對稱軸的垂線FH，過A作AK⊥x軸于點K，

則有AC∥EF且AC=EF，

∴∠ACK=∠EFH，

在△ACK和△EFH中

∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH=CK=1，HE=AK=，

∵拋物線對稱軸為x=﹣1，∴F點的橫坐標為0或﹣2，

∵點F在直線AB上，

∴當F點橫坐標為0時，則F（0，），此時點E在直線AB下方，

∴E到y軸的距離為EH﹣OF=﹣=，即E點縱坐標為﹣，

∴E（﹣1，﹣）；

當F點的橫坐標為﹣2時，則F與A重合，不合題意，舍去；

②當AC為平行四邊形的對角線時，

∵C（﹣3，0），且A（﹣2，），

∴線段AC的中點坐標為（﹣2.5，），

設E（﹣1，t），F（x，y），

則x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=，

∴x=﹣4，y=﹣t，

代入直線AB解析式可得﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣，

∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；

綜上可知存在滿足條件的點F，此時E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．