Question

【題目】某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲l元，則每個月少賣l0件(每件售價不能高于65元)．設每件商品的售價上x元(x為正整數)，每個月的銷售利潤為y元．
（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量戈的取值范圍；
（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤?最大的月利潤是多少元?
（3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元?

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得： ， 且 為整數
（2）解：由（1）中的 與 的解析式配方得： ．
∵ ，
∴當 時， 有最大值2402.5．
∵ 且 為整數，
當 時， ， (元)；當 時， ， (元)，
∴當售價定為每件55或56元時，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2400元 。
（3）解：當 時， ，解得： ， ．
∴當 時， ；當 時， ．
∴當售價定為每件51或60元時，每個月的利潤為2200元
【解析】（1）設每件商品的售價上x元(x為正整數)，每個月的銷售利潤為y元，則一個月的銷量為(21010)件 ，單件的利潤為( 50 + x 40 ) 元， 根據銷售利潤等于銷售數量×單件利潤，得出y與x的函數關系式；直接寫出x的取值范圍即可；
（2）將由（1）中的 y 與 x 的解析式配方得： y = 10 ( x 5.5 ) 2 + 2402.5 ．由于此函數的二次項系數 a = 10 < 0 ，從而得出當 x = 5.5 時， y 有最大值2402.5．又因0 < x ≤ 15 且 x 為整數，從而得出當 x = 5 時， 50 + x = 55 ， y = 2400 (元)；當 x = 6 時， 50 + x = 56 ， y = 2400 (元)；（3）把 y = 2200代入（1）得到的函數解析式，從而得出一個一元二次方程，求解得出x的值，然后得出結論。