Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與y軸交于點A，與x軸交于點B和點C（3，0），且圖象過點D（2，3），連結AD，點P是線段AD上一個動點，過點P作y軸平行線分別交拋物線和x軸于點E，F．連結AE，過點F作FG//AE交AD的延長線于點G．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若tan∠G＝，求點E的坐標；

（3）當△AFG是直角三角形時，求DG的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點E點坐標為（，）；（3）DG＝．

【解析】

（1）由C（3，0）、D（2，3）兩點坐標利用待定系數法即可確定函數解析式；

（2）由平行線的性質可得∠EAP＝∠G，則tan∠EAP＝tan∠G＝，利用（1）中的函數解析式設出E點坐標為（m，－m2＋2m＋3），在利用正切函數得到關于m的一元二次方程，解方程即可得解；

（3）根據已知條件點P在AD上移動，當△AFG是直角三角形時，易得△APE∽△FPA，在（2）的基礎上利用相似三角形的性質列出關于m的方程，從而求得PE、AP、PG以及AD的長，進一步計算即可得解．

解：（1）把C（3，0）、D（2，3）代入

得：，

解得：a＝－1，b＝2，

則

（2）∵FG//AE，

∴∠EAP＝∠G

∴tan∠EAP＝tan∠G＝

∵點A坐標為（0，3），PF//y軸

∴PF＝3，∠APE＝90°

設E點坐標為（m，－m2＋2m＋3）

∴AP＝m，PE＝－m2＋2m

∴，解得：m1＝0（舍去），m2＝

∴點E點坐標為（，）．

（3）點P在AD上移動，當△AFG是直角三角形時，∠AFG＝90°

∴∠EAF＝90°，易知△APE∽△FPA

∴，，解得：m1＝0（舍去），m2＝

∴AP＝，PE＝

∵tan∠EAP＝tan∠G

∴，

∴PG＝6，

∴DG＝PG+AP-AD=6＋－2＝

故答案是：（1）；（2）點E點坐標為（，）；（3）DG＝