Question

【題目】在等腰△ABC中，

（1）如圖1，若△ABC為等邊三角形，D為線段BC中點，線段AD關于直線AB的對稱線段為線段AE，連接DE，則∠BDE的度數為；
（2）若△ABC為等邊三角形，點D為線段BC上一動點（不與B，C重合），連接AD并將 線段AD繞點D逆時針旋轉60°得到線段DE，連接BE．
①根據題意在圖2中補全圖形；
②小玉通過觀察、驗證，提出猜測：在點D運動的過程中，恒有CD=BE．經過與同學們的充分討論，形成了幾種證明的思路：
思路1：要證明CD=BE，只需要連接AE，并證明△ADC≌△AEB；
思路2：要證明CD=BE，只需要過點D作DF∥AB，交AC于F，證明△ADF≌△DEB；
思路3：要證明CD=BE，只需要延長CB至點G，使得BG=CD，證明△ADC≌△DEG；
…
請參考以上思路，幫助小玉證明CD=BE．（只需要用一種方法證明即可）
（3）小玉的發現啟發了小明：如圖3，若AB=AC=kBC，AD=kDE，且∠ADE=∠C，此時小明發現BE，BD，AC三者之間滿足一定的數量關系，這個數量關系是 ． （直接給出結論無須證明）

Answer 1

【答案】
（1）30°
（2）

①

②思路1：如圖2（a），連接AE，

∵AD=DE，∠ADE=60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAD=60°，

∴∠EAB=∠CAD，

在△AEB△與ADC中， ，

∴△AEB≌△ADC，

∴CD=BE；

思路2：過點D作DF∥AB，交AC于F，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC，∠BAC=60°，

∵DF∥AB，

∴∠DFC=60°，

∴△CDF是等邊三角形，

∴∠ADE=∠ACB=∠ABC=60°，

∴∠DAF=∠EDB，

在△ADF與△DEB中， ，

∴△ADF≌△DEB，

∴DF=BE=CD；

思路3：如圖2（c），延長CB至G，使BG=CD，∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC，∠BAC=60°，

∵CD=BG，

∴DG=AC，∴∠ADE=∠ACB=∠ABC=60°，

∴∠DAF=∠EDB，

在△ADC與△DEG中， ，

∴△ADC≌△DEG，

∴CD=EG=BG=60°，

∴BE=BG=CD；

（3）k（BE+BD）=AC
【解析】解：（1.）∵△ABC是等邊三角形，D為線段BC中點，
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=30°，
∵線段AD關于直線AB的對稱線段為線段AE，
∴AB⊥DE，
∴∠BDE=30°；
故答案為：30°；
（3.）k（BE+BD）=AC，
如圖3，連接AE，

∵AC=kBC，AD=kDE，且∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC，
∴∠EAB=∠DAC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD，
在△AEB△與ADC中， ，
∴△AEB≌△ADC，
∴CD=BE；
∵BC=BD+CD，
∴BC=BD+BE，
∵AC=kBC，
∴AC=k（BD+BE），
故答案為：k（BE+BD）=AC．
（1）根據等邊三角形的性質得到∠BAD=∠CAD= ∠BAC=30°，由線段AD關于直線AB的對稱線段為線段AE，得到AB⊥DE，于是得到結論；
（2.）思路1：如圖2（a），連接AE，思路2：過點D作DF∥AB，交AC于F，思路3：如圖2（c），延長CB至G，使BG=CD，根據全等三角形的判定和性質即可得到結論；
（3.）如圖3，連接AE，根據已知條件得到△ADE∽△ACB，根據相似三角形的性質得到∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC，于是得到∠EAB=∠DAC，根據全等三角形的性質得到CD=BE；根據線段的和差即可得到結論．