Question

【題目】如圖①所示，直線L:yax10a與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn).

（1）當(dāng)OAOB時(shí)，試確定直線L的解析式；

（2）在（1）的條件下，如圖②所示，設(shè)Q為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，作直線OQ，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作AMOQ于M，BNOQ于N，若AM8,BN6，求MN的長(zhǎng).

（3）當(dāng)a取不同的值時(shí)，點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，分別以OB、AB為邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)在第一、二象限內(nèi)作等腰直角OBF和等腰直角ABE，連接EF交y軸于P點(diǎn)，如圖③，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想PB的長(zhǎng)是否為定值，若是，請(qǐng)求出其值，若不是，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）L的解析式y=x+10；（2）MN =14；（3）PB的長(zhǎng)為定值，PB=5，見(jiàn)解析.

【解析】

（1）先求出直線y=ax+10a與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后由OA=OB可求出a的值，進(jìn)而確定直線解析式；

（2）用AAS證明△AMO≌△ONB，由全等三角形的性質(zhì)得ON=AM，OM=BN，進(jìn)一步即可求出MN的值；

（3）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥y軸于G點(diǎn)，先證明△ABO≌△EGB，得BG=AO=10，OB=EG，再證明△BFP≌△GEP，得BP=GP=BG=5，于是問(wèn)題得解.

解：（1）（1）∵直線L：y=ax+10a，

∴A（-10，0），B（0，10a），

∵直線交y軸正半軸，∴10a＞0，∴a＞0.

由OA=OB得：10a=10，∴a=1，

∴直線解析式為：y=x+10；

（2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，∴∠AMO=∠BNO=90°，

∴∠AOM+∠MAO=90°，

∵∠AOM+∠BON=90°，∴∠MAO=∠NOB.

在△AMO和△OBN中，

∴△AMO≌△ONB．∴ON=AM，OM=BN，

∵AM=8，BN=6，∴MN=AM+BN=14.

（3）PB的長(zhǎng)為定值.

理由：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥y軸于G點(diǎn)，

∵△AEB為等腰直角三角形，∴AB=EB，∠ABO+∠EBG=90°，

∵EG⊥BG，∴∠GEB+∠EBG=90°.

∴∠ABO=∠GEB.

在△ABO和△EGB中

∴△ABO≌△EGB，∴BG=AO=10，OB=EG，

∵△OBF為等腰直角三角形，∴OB=BF，∴BF=EG.

在△BFP和△GEP中

∴△BFP≌△GEP，∴BP=GP=BG=5.

即PB的長(zhǎng)為定值.