Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸的兩個交點分別為A（﹣3，0），B（1，0），與y軸的交點為D，對稱軸與拋物線交于點C，與x軸負半軸交于點H．

（1）求拋物線的表達式；
（2）點E，F分別是拋物線對稱軸CH上的兩個動點（點E在點F上方），且EF=1，求使四邊形BDEF的周長最小時的點E，F坐標及最小值；
（3）如圖2，點P為對稱軸左側，x軸上方的拋物線上的點，PQ⊥AC于點Q，是否存在這樣的點P使△PCQ與△ACH相似？若存在請求出點P的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+3過點A（﹣3，0），B（1，0），

∴ ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3

（2）解：∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴頂點C（﹣1，4）．

將D點向下平移1個單位，得到點M，連結AM交對稱軸于F，作DE∥FM交對稱軸于E點，如圖1所示．

∵EF∥DM，DE∥FM，

∴四邊形EFMD是平行四邊形，

∴DE=FM，EF=DM=1，

DE+FB=FM+FA=AM．

由勾股定理，得AM= = = ，BD= = = ，

四邊形BDEF周長的最小值=BD+DE+EF+FB=BD+EF+（DE+FB）=BD+EF+AM= +1+ ；

設AM的解析式為y=mx+n，將A（﹣3，0），M（0，2）代入，解得m= ，n=2，則AM的解析式為y= x+2，

當x=﹣1時，y= ，即F（﹣1， ），

由EF=1，得E（﹣1， ）．

故四邊形BDEF的周長最小時，點E的坐標為（﹣1， ），點F坐標為（﹣1， ），四邊形BDEF周長的最小值是 +1+ ；

（3）解：點P在對稱軸左側，當△PCQ∽△ACH時，∠PCQ=∠ACH．

過點A作CA的垂線交PC與點F，作FN⊥x軸與點N．則AF∥PQ，

∴△CPQ∽△CFA，

∴ = =2．

∵∠CAF=90°，

∴∠NAF+∠CAH=90°，∠NFA+∠NAF=90°，

∴∠BFA=∠CAH．

又∵∠FNA=∠AHC=90°，

∴△FNA∽△AHC，

∴ = = = ，即 = = ．

∴AN=2，FN=1．

∴F（﹣5，1）．

設直線CF的解析式為y=kx+b，將點C和點F的坐標代入得： ，解得：k= ，b= ．

∴直線CF的解析式為y= x+ ．

將y= x+ 與y=﹣x2﹣2x+3聯立得： 解得： 或 （舍去）．

∴P（﹣ ， ）．

∴滿足條件的點P的坐標為（﹣ ， ）．

【解析】（1）直接利用待定系數法來求解；
（2）把（1）中得到的解析式寫成頂點式可得C的坐標，將D點向下平移1個單位，得到點M，連結AM交對稱軸于F，作DE∥FM交對稱軸于E點，進而可得四邊形EFMD是平行四邊形，由平行四邊形的性質和勾股定理可求得AM、BD，進而可求出四邊形BDEF周長的最小值，再利用待定系數法求出直線AM的解析式，從而得到F的坐標，然后由EF=1得出E的坐標；
（3）過點A作CA的垂線交PC與點F，作FN⊥x軸與點N．則AF∥PQ.當△PCQ∽△ACH時，∠PCQ=∠ACH．再證明△CPQ∽△CFA和△FNA∽△AHC，由相似三角形的性質可求出AN、FN的長，進而得到F點的坐標，再求出直線CF的解析式，然后與拋物線解析式聯立，求出P點的坐標.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解確定一次函數的表達式的相關知識，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法，以及對軸對稱的性質的理解，了解關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線；兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上．