Question

【題目】如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為﹣1，3，與y軸負半軸交于點C．以下五個結論：①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有當a＝時，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB為等腰三角形的a的值可以有兩個．那么，其中正確的結論是_____．

Answer 1

【答案】①④⑤

【解析】

先根據圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為-1，3確定出AB的長及對稱軸，再由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．

解：①∵圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為﹣1，3，

∴AB＝4，

∴對稱軸x＝＝=1，

即2a+b＝0；

故①正確；

②由拋物線的開口方向向上可推出a＞0，而＞0

∴b＜0，

∵對稱軸x＝1，

∴當x＝1時，y＜0，

∴a+b+c＜0；

故②錯誤；

③∵圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為﹣1，3，

∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，

∴10a+2b+2c＝0，

∴5a+b+c＝0，

∴a+4a+b+c＝0，

∵a＞0，

∴4a+b+c＜0，

故③錯誤；

④要使△ABD為等腰直角三角形，必須保證D到x軸的距離等于AB長的一半；

D到x軸的距離就是當x＝1時y的值的絕對值．

當x＝1時，y＝a+b+c，

即|a+b+c|＝2，

∵當x＝1時y＜0，

∴a+b+c＝﹣2，

又∵圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為﹣1，3，

∴當x＝﹣1時y＝0即a﹣b+c＝0；

x＝3時y＝0．

∴9a+3b+c＝0，

解這三個方程可得：b＝﹣1，a＝，c＝﹣；

⑤要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，

當AB＝BC＝4時，

∵AO＝1，△BOC為直角三角形，

又∵OC的長即為|c|，

∴c2＝16﹣9＝7，

∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，

∴c＝﹣，

與2a+b＝0、a﹣b+c＝0聯立組成解方程組，解得a＝；

同理當AB＝AC＝4時，

∵AO＝1，△AOC為直角三角形，

又∵OC的長即為|c|，

∴c2＝16﹣1＝15，

∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，

∴c＝﹣

與2a+b＝0、a﹣b+c＝0聯立組成解方程組，解得a＝；

同理當AC＝BC時

在△AOC中，AC2＝1+c2，

在△BOC中BC2＝c2+9，

∵AC＝BC，

∴1+c2＝c2+9，此方程無解．

經解方程組可知只有兩個a值滿足條件．

故⑤正確．

故答案為：①④⑤．