Question

【題目】如圖所示，E，F，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，AD的中點．

(1)當四邊形ABCD是矩形時，四邊形EFGH是_________，請說明理由；

(2)當四邊形ABCD滿足什么條件時，四邊形EFGH為正方形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）菱形，理由見解析；（2）當四邊形ABCD滿足AC＝BD且AC⊥BD時，四邊形EFGH為正方形．理由見解析.

【解析】（1）利用三角形中位線定理“三角形的中位線等于第三邊的一半”，根據菱形的判定，矩形的性質，求解即可，

（2）首先利用菱形的性質得出平行四邊形ABCD是菱形，再利用正方形的性質與判定得出即可．

解：(1)理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD.

由題意，得EF＝AC，EH＝BD，GH＝AC，GF＝BD，

∴EF＝EH＝GH＝GF.

∴四邊形EFGH是菱形．

(2)當四邊形ABCD滿足AC＝BD且AC⊥BD時，四邊形EFGH為正方形．理由：

∵E，F分別是四邊形ABCD的邊AB，BC的中點，

∴EF∥AC，EF＝AC.

同理：EH∥BD，EH＝BD，GF＝BD，GH＝AC.

又∵AC＝BD，∴EF＝EH＝GH＝GF.

∴四邊形EFGH是菱形．

∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.

∴四邊形EFGH是正方形．