Question

【題目】如圖，已知△ABC內接于⊙O，且AB=AC，直徑AD交BC于點E，F是OE上的一點，使CF∥BD．

（1）求證：BE=CE；
（2）試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由；
（3）若BC=AD=8，求CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD是直徑，

∴∠ABD=∠ACD=90°，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AB=AC，

∴BE=CE；

（2）證明：四邊形BFCD是菱形．理由如下：

證明：∵AD是直徑，AB=AC，

∴AD⊥BC，BE=CE，

∵CF∥BD，

∴∠FCE=∠DBE，

在△BED和△CEF中，

，

∴△BED≌△CEF，

∴CF=BD，

∴四邊形BFCD是平行四邊形，

∵∠BAD=∠CAD，

∴BD=CD，

∴四邊形BFCD是菱形；

（3）解：∵AD是直徑，AD⊥BC，BE=CE，

∴CE2=DEAE，

設DE=x，

∵BC=8，AD=10，

∴42=x（10﹣x），

解得：x=4，

在Rt△CED中，

CD= =4 ．

【解析】（1）首先證明△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD，再根據等腰三角形的性質即可證明；（2）四邊形BFCD的形狀是菱形，首先證明△BFE≌△CDE，得到BF=DC，可知四邊形BFCD是平行四邊形，易證BD=CD，可證明結論；（3）設DE=x，則根據CE2=DEAE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對菱形的判定方法的理解，了解任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．