Question

【題目】四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點E在邊AD所在直線上，連接CE，以CE為邊，作正方形CEFG（C、E、F、G按順時針排列），連接BF.

（1）如圖1，當點E與點A重合時，請直接寫出BF的長；

（2）如圖2，當點E在線段AD上時，AE=1，求BF的長；

（3）若BG3,請求出此時AE的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）AE的長為1或2+．

【解析】

（1）作FH⊥AB于H，由AAS證明△EFH≌△CED，得出FH=CD=4，AH=AD=4，求出BH=AB+AH=8，由勾股定理即可得出答案；

（2）過F作FH⊥AD交AD的延長線于點H，作FM⊥AB于M，則FM=AH，AM=FH，①同（1）得：△EFH≌△CED，得出FH=DE=3，EH=CD=4即可；

②求出BM=AB+AM=7，FM=AE+EH=5，由勾股定理即可得出答案；

（3）分兩種情況：①當點E在邊AD的左側時，過F作FH⊥AD交AD的延長線于點H，交BC延長線于K，同（1）得：△EFH≌△CED，得出FH=DE=4+AE，EH=CD=4，得出FK=8+AE，在Rt△BFK中，BK=AH=EH-AE=4-AE，由勾股定理得出方程，解方程即可；

②當點E在邊AD的右側時，過F作FH⊥AD交AD的延長線于點H，交BC延長線于K，同理得AE的長．

（1）作FH⊥AB于H，如圖1所示：

則∠FHE=90°，

∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，

∴AD=CD=4，EF=CE，∠ADC=∠DAH=∠BAD=∠CEF=90°，

∴∠FEH=∠CED，

在△EFH和△CED中，

，

∴△EFH≌△CED（AAS），

∴FH=CD=4，AH=AD=4，

∴BH=AB+AH=8，

∴BF=；

（2）過F作FH⊥AD交AD的延長線于點H，作FM⊥AB于M，如圖2所示：

則FM=AH，AM=FH，

①∵AD=4，AE=1，∴DE=3，

同（1）得：△EFH≌△CED（AAS），

∴FH=DE=3，EH=CD=4，

∴BM=AB+AM=4+3=7，FM=AE+EH=5，

∴BF=；

（3）分兩種情況：

①當點E在邊AD的左側時，過F作FH⊥AD交AD于點H，交BC延長線于K．如圖3所示：

同（1）得：△EFH≌△CED，

∴FH=DE=AE+4，EH=CD=4，

∴FK=8+AE，在Rt△BFK中，BK=AH=EH-AE=4-AE，

由勾股定理得：（4-AE）2+（8+AE）2=（3）2，

解得：AE=1或AE=-5（舍去），

∴AE=1；

②當點E在邊AD的右側時，過F作FH⊥AD交AD的延長線于點H，交BC延長線于K，如圖4所示：

同理得：AE=2+或2-（舍去）．

③當點E在AD上時，可得：（8-AE）2+（4+AE）2=90，

解得AE=5或-1，

5＞4不符合題意．

綜上所述：AE的長為1或2+．