Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD，從頂點A引兩條射線分別交BC，CD于點E，F，且∠EAF＝45°.

求證：BE＋DF＝EF.

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

延長CD到G，使DG=BE，利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據全等三角形對應邊相等可得AG=AE，全等三角形對應角相等可得∠DAG=∠BAE，然后求出∠EAF=∠GAF，再利用“邊角邊”證明△AEF和△AGF全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF=GF，然后結合圖形整理即可得證．

證明：延長CD到點G，使DG＝BE，連接AG.

在正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，

所以∠ADG＝∠B.

在△ABE和△ADG中，,

所以△ABE≌△ADG(SAS)．

所以AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.

因為∠EAF＝45°，

所以∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°.

所以∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△AGF中，,

所以△AEF≌△AGF(SAS)．

所以EF＝GF.

所以EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF，

即BE＋DF＝EF.