Question

【題目】如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點(點P不與點B、D重合)，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接EF給出下列五個結論：①AP＝EF；②AP⊥EF；③僅有當∠DAP＝45°或67.5°時，△APD是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP：⑤PD＝EC．其中有正確有(　　)個．

A. 2B. 3C. 4D. 5

Answer 1

【答案】D

【解析】

過P作PG⊥AB于點G，根據正方形對角線的性質及題中的已知條件，證明△AGP≌△FPE后即可證明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基礎上，根據正方形的對角線平分對角的性質，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得DP=EC，得出⑤正確，即可得出結論．

過P作PG⊥AB于點G，如圖所示：

∵點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，

∴GP=EP，

在△GPB中，∠GBP=45°，

∴∠GPB=45°，

∴GB=GP，

同理：PE=BE，

∵AB=BC=GF，

∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，

∴AG=PF，

在△AGP和△FPE中，

，

∴△AGP≌△FPE（SAS），

∴AP=EF，①正確，∠PFE=∠GAP，

∴∠PFE=∠BAP，④正確；

延長AP到EF上于一點H，

∴∠PAG=∠PFH，

∵∠APG=∠FPH，

∴∠PHF=∠PGA=90°，

∴AP⊥EF，②正確，

∵點P是正方形ABCD的對角線BD上任意一點，∠ADP=45°，

∴當∠PAD=45°或67.5°時，△APD是等腰三角形，

除此之外，△APD不是等腰三角形，故③正確．

∵GF∥BC，

∴∠DPF=∠DBC，

又∵∠DPF=∠DBC=45°，

∴∠PDF=∠DPF=45°，

∴PF=EC，

∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，

∴DP=EC，

即PD=EC，⑤正確．

∴其中正確結論的序號是①②③④⑤，共有5個．

故選D．