Question

【題目】如圖所示，點O是等邊三角形ABC內一點，∠AOB=110°，∠BOC=α, 以OC為邊作等邊三角形OCD，連接AD.

（1）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；

（2）探究：當a為多少度時，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）△ADO是直角三角形；（2）當α為110°、125°、140°時，三角形AOD是等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）首先根據已知條件可以證明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性質可以求出∠ADO的度數，由此即可判定△AOD的形狀；

（2）利用（1）和已知條件及等腰三角形的性質即可求解．

試題解析：（1）∵△OCD是等邊三角形，

∴OC=CD，

而△ABC是等邊三角形，

∴BC=AC，

∵∠ACB=∠OCD=60°，

∴∠BCO=∠ACD，

在△BOC與△ADC中，

∵，

∴△BOC≌△ADC，

∴∠BOC=∠ADC，

而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，

∴∠ADO=150°-60°=90°，

∴△ADO是直角三角形；

（2）∵設∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，

則a+b=60°，b+c=180°-110°=70°，c+d=60°，a+d=50°∠DAO=50°，

∴b-d=10°，

∴（60°-a）-d=10°，

∴a+d=50°，

即∠CAO=50°，

①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，

∴190°-α=α-60°，

∴α=125°；

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，

∴α-60°=50°，

∴α=110°；

③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，

∴190°-α=50°，

∴α=140°．

所以當α為110°、125°、140°時，三角形AOD是等腰三角形．